Proszę o szybką pomoc!!!!
Od tego zależyoja ocena na koniec.
Potrzebuje od 1 do 7.


Proszę O Szybką Pomoc Od Tego Zależyoja Ocena Na Koniec Potrzebuje Od 1 Do 7 class=

Odpowiedź :

Miary kątów w okręgu w poszczególnych zadaniach wynoszą:

  1. α=40°
  2. α=62°
  3. α=54°
  4. α=23°, β=67°
  5. α=70°, β=110°
  6. α=50°, β=130°,  γ=140°
  7. |∡ODC|=60°, |∡OAD|=40°, |∡DOA|=100°, |∡OAB|=|∡OBA|=35°, |∡COB|=90°, |∡OCB|=|∡OBC|=45°

Skąd wzięły się powyższe wartości i jakich twierdzeń matematycznych użyto można dowiedzieć się z poniższych obliczeń.

Zadanie 1

|∡BOA|=360-(4α+120°)=240°-4α

Trójkąt o wierzchołkach AOB jest równoramienny, bowiem dwa z ramion to jednocześnie promienie okręgu. Oznacza to, że:

|∡BAO|=[180°-(240°-4α)]÷2= (4α-60°)÷2=2α-30°

Wiadomo, że styczna do okręgu z promieniem tegoż okręgu tworzą kąt prosty.

2α-30°+α=90°

3α=120°

α=40°

Zadanie 2

Najpierw należy się przyjrzeć prostej, która zawiera w sobie odcinek |BC| i stycznej do okręgu.

180°-118°=62°

Wyznaczyć teraz należy trójkąt równoramienny OCB.

|∡OBC|= 90°-62°=28°

|∡BOC|=180°-28°-28°=124°

Wiadomo, że kąt wpisany w okrąg (w tym przypadku |∡BAC|) jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku (w tym przypadku |∡BOC|).

|∡BAC|=124°÷2=62°=α

Zadanie 3

Wiadomo, że |AB| jest położony równolegle do |CD|, a zatem łuk AC i BD są sobie równe.

Stąd wynika, że |∡BAD|=|∡ADC|=27°. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku posiadają tę samą miarę. To kolejna właściwość kątów wpisanych w okrąg.

Korzystamy następnie z twierdzenia użytego w poprzednim zadaniu.

|∡AOC|=27°·2=54°= α

Zadanie 4

Kąt wpisany, który został oparty na średnicy okręgu ma zawsze 90° (inaczej mówiąc jest kątem prostym). Posiadając tę wiedzę można obliczyć α.

180°-90°-67°=23°= α

W zadaniu pierwszym wykorzystano twierdzenie o tym, iż styczna do okręgu z promieniem tegoż okręgu tworzą kąt prosty. I tutaj też należy z niego skorzystać.

90°-23°=67°=β

Zadanie 5

Tutaj wykorzystać należy to samo twierdzenie, co w zadaniu 2.

|∡AOC| został oparty na tym samym łuku co |∡ADC|, a |∡AOC| jest dwukrotnie większy od |∡ADC|.

140°÷2=70°= α

Potrzebne jest jeszcze jedno twierdzenie matematyczne, a mianowicie: dowolny czworokąt można wpisać w okrąg tylko i wyłącznie wtedy, gdy suma miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych wynosi 180°.

Mamy w zadaniu czworokąt wpisany w okrąg o wierzchołkach A, B, C i D.

α+β=180°

70°+ β=180°

β =110°

Zadanie 6

Kąt wpisany w okrąg (w tym przypadku |∡BAD|) jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku (w tym przypadku |∡BOD|).

100°÷2=50°= α

Czworokąt ABCD wpisano w okrąg, a więc α+ β=180° (na podstawie twierdzenia z zadania 5).

50°+ β=180°

β =130°

Wykorzystać teraz należy twierdzenie z zadania 2.

(180°+100°)°÷2=280°÷2=140°= γ

Zadanie 7

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są sobie równe. W tym zadaniu pojawiają się cztery trójkąty równoramienne: DOC, COB, BOA, DOA (każdy posiada dwa boki, które są jednocześnie promieniem okręgu).

|∡ODC|=|∡ACD|=(180°-60°)°÷2=120°÷2=60°

|∡ADO|=|∡OAD|=40°

|∡DOA|=180°-40°-40°=100°

|∡OAB|=|∡OBA|=(180°-110°)°÷2=70°÷2=35°

|∡COB|=360°-60°-100°-110°=90°

|∡OCB|=|∡OBC|=(180°-90°)°÷2=90°÷2=45°