Odpowiedź :
Miary kątów w okręgu w poszczególnych zadaniach wynoszą:
- α=40°
- α=62°
- α=54°
- α=23°, β=67°
- α=70°, β=110°
- α=50°, β=130°, γ=140°
- |∡ODC|=60°, |∡OAD|=40°, |∡DOA|=100°, |∡OAB|=|∡OBA|=35°, |∡COB|=90°, |∡OCB|=|∡OBC|=45°
Skąd wzięły się powyższe wartości i jakich twierdzeń matematycznych użyto można dowiedzieć się z poniższych obliczeń.
Zadanie 1
|∡BOA|=360-(4α+120°)=240°-4α
Trójkąt o wierzchołkach AOB jest równoramienny, bowiem dwa z ramion to jednocześnie promienie okręgu. Oznacza to, że:
|∡BAO|=[180°-(240°-4α)]÷2= (4α-60°)÷2=2α-30°
Wiadomo, że styczna do okręgu z promieniem tegoż okręgu tworzą kąt prosty.
2α-30°+α=90°
3α=120°
α=40°
Zadanie 2
Najpierw należy się przyjrzeć prostej, która zawiera w sobie odcinek |BC| i stycznej do okręgu.
180°-118°=62°
Wyznaczyć teraz należy trójkąt równoramienny OCB.
|∡OBC|= 90°-62°=28°
|∡BOC|=180°-28°-28°=124°
Wiadomo, że kąt wpisany w okrąg (w tym przypadku |∡BAC|) jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku (w tym przypadku |∡BOC|).
|∡BAC|=124°÷2=62°=α
Zadanie 3
Wiadomo, że |AB| jest położony równolegle do |CD|, a zatem łuk AC i BD są sobie równe.
Stąd wynika, że |∡BAD|=|∡ADC|=27°. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku posiadają tę samą miarę. To kolejna właściwość kątów wpisanych w okrąg.
Korzystamy następnie z twierdzenia użytego w poprzednim zadaniu.
|∡AOC|=27°·2=54°= α
Zadanie 4
Kąt wpisany, który został oparty na średnicy okręgu ma zawsze 90° (inaczej mówiąc jest kątem prostym). Posiadając tę wiedzę można obliczyć α.
180°-90°-67°=23°= α
W zadaniu pierwszym wykorzystano twierdzenie o tym, iż styczna do okręgu z promieniem tegoż okręgu tworzą kąt prosty. I tutaj też należy z niego skorzystać.
90°-23°=67°=β
Zadanie 5
Tutaj wykorzystać należy to samo twierdzenie, co w zadaniu 2.
|∡AOC| został oparty na tym samym łuku co |∡ADC|, a |∡AOC| jest dwukrotnie większy od |∡ADC|.
140°÷2=70°= α
Potrzebne jest jeszcze jedno twierdzenie matematyczne, a mianowicie: dowolny czworokąt można wpisać w okrąg tylko i wyłącznie wtedy, gdy suma miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych wynosi 180°.
Mamy w zadaniu czworokąt wpisany w okrąg o wierzchołkach A, B, C i D.
α+β=180°
70°+ β=180°
β =110°
Zadanie 6
Kąt wpisany w okrąg (w tym przypadku |∡BAD|) jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku (w tym przypadku |∡BOD|).
100°÷2=50°= α
Czworokąt ABCD wpisano w okrąg, a więc α+ β=180° (na podstawie twierdzenia z zadania 5).
50°+ β=180°
β =130°
Wykorzystać teraz należy twierdzenie z zadania 2.
(180°+100°)°÷2=280°÷2=140°= γ
Zadanie 7
Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są sobie równe. W tym zadaniu pojawiają się cztery trójkąty równoramienne: DOC, COB, BOA, DOA (każdy posiada dwa boki, które są jednocześnie promieniem okręgu).
|∡ODC|=|∡ACD|=(180°-60°)°÷2=120°÷2=60°
|∡ADO|=|∡OAD|=40°
|∡DOA|=180°-40°-40°=100°
|∡OAB|=|∡OBA|=(180°-110°)°÷2=70°÷2=35°
|∡COB|=360°-60°-100°-110°=90°
|∡OCB|=|∡OBC|=(180°-90°)°÷2=90°÷2=45°