Planimetria. Twierdzenie cosinusów.
Odp:
[tex]\huge\boxed{d_1=2\sqrt2}[/tex]
[tex]\huge\boxed{d_2=2\sqrt{14+4\sqrt3}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Kreślimy rysunek poglądowy (załącznik).
Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych przy jednym boku w każdym równoległoboku wynosi 180°. Stąd możemy obliczyć miarę kąta ostrego:
180° - 150° = 30°
Skorzystamy z twierdzenia cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
[tex]a,\ b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta
[tex]\alpha[/tex] - kąt leżący naprzeciw boku [tex]a[/tex]
Trójkąt rozwartokątny.
[tex]\cos150^o=\cos(180^o-30^o)=-\cos30^o=-\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
Skorzystaliśmy ze wzoru redukcyjnego:
[tex]\cos(180^o-\alpha)=-\cos\alpha[/tex]
Podstawiamy:
[tex]d_2^2=4^2+(2+2\sqrt3)^2-2\cdot4(2+2\sqrt3)\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)[/tex]
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
[tex]d_2^2=16+2^2+2\cdot2\cdot2\sqrt3+(2\sqrt3)^2+4\sqrt3(2+2\sqrt3)\\\\d_2^2=16+4+8\sqrt3+4\cdot3+8\sqrt3+8\cdot3\\\\d_2^2=20+16\sqrt3+12+24\\\\d_2^2=56+16\sqrt3\to d_2=\sqrt{56+16\sqrt3}\\\\d_2=\sqrt{4(14+4\sqrt3)}\\\\\boxed{d_2=2\sqrt{14+4\sqrt3}}[/tex]
Trójkąt ostrokątny.
[tex]\cos30^o=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]d_1^2=4^2+(2+2\sqrt3)^2-2\cdot4(2+2\sqrt3)\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
[tex]d_1^2=16+2^2+2\cdot2\cdot2\sqrt3+(2\sqrt3)^2-4\sqrt3(2+2\sqrt3)\\\\d_1^2=16+4+8\sqrt3+4\cdot3-8\sqrt3-8\cdot3\\\\d_1^2=20+12-24\\\\d_1^2=8\to d_1=\sqrt8\\\\d_1=\sqrt{4\cdot2}\\\\\boxed{d_1=2\sqrt2}[/tex]
