Dokonam podstawienia:
[tex]x^2=\xi\\m\xi^2-(m+2)\xi+\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}=0[/tex]
jeżeli m=0 wtedy moje równanie wygląda następująco:
[tex]-2\xi+\frac{1}{4}=0\\\xi=\frac{1}{8}\\x^2=\frac{1}{8}\\x=\pm\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex]
zatem m=0 spełnia warunki zadania
W innym wypadku szukam takich m, że moje równania ma jeden podwójny pierwiastek (delta równa zeru), lub jeden z pierwiastków jest dodatni, a drugi ujemny (w tej sytuacji mam dwa pierwiastki rzeczywiste i dwa zespolone)
1. delta = 0
[tex]\Delta=(m+2)^2-4m(\frac{1}{2}m+\frac{1}{4})=0\\m^2+4m+4-2m^2-m=0\\-m^2+3m+4=0\\\Delta_m=9+16=25\\m_1=\frac{-3-5}{-2}=4\\m_2=-1}[/tex]
dla m=4
[tex]\xi=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\\x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
natomiast dla m=-1
[tex]\xi=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2} < 0[/tex]
i takie rozwiązanie należy odrzucić, gdyż prowadzi do zespolonych pierwiastków.
Przy okazji mam warunek na przedział m, dla którego istnieją rzeczywiste rozwiązania równania na ξ (nie oznacza to jeszcze rzeczywistych rozwiązań x)
[tex]m\in < -1;4 >[/tex]
2. pierwiastki różnych znaków
Tu skorzystam ze wzorów Viete'a
[tex]\xi_1\xi_2=\frac{\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}}{m} < 0\\4m(2m+1) < 0\\m\in(-\frac{1}{2};0)[/tex]
Ostatecznie, zbierając wszystkie przedziały:
[tex]m\in(-\frac{1}{2};0 > \cup \{4\}[/tex]
pozdrawiam
