a) nierownolegle boki: AD i BC
Wyznaczamy wzor prostej przechodzacej przez punkty A i D:
[tex]\left \{ {{-2 = -a + b/*(-2)} \atop {1 = -2a + b}} \right. \\\left \{ {{4 = 2a-2b} \atop {1=-2a+b}} \right. \\5 = -b\\b = -5\\1 = -2a-5 /+5\\6 = -2a\\a = -3\\y = -3x-5[/tex]
Wyznaczamy wzor prostej przechodzacej przez punkty B i C
[tex]\left \{ {{2 = 5a + b} \atop {3 = a + b /*(-5)}} \right. \\\left \{ {{2 = 5a+b} \atop {-15=-5a-5b}} \right. \\-13=-4b\\b = \frac{13}{4} = 3\frac14\\3 = a + 3\frac14 /-3\frac14\\-\frac14=a\\y = -\frac14x+\frac{13}4[/tex]
Wyznaczamy punkt przeciecia sie obu prostych:
[tex]\left \{ {{y = -3x-5} \atop {y = -\frac14x+\frac{13}4}} \right. \\-3x-5=-\frac14x+\frac{13}4\\-5-\frac{13}4=-\frac14x+3x\\-5-3\frac14=2\frac34x\\-8\frac14=2\frac34x\\-\frac{33}{4} = \frac{11}4x /*4\\-33 = 11x /:11\\-\frac{33}{11} = x\\-3 = x\\y = -3*(-3)-5\\y = 9-5=4\\P (-3; 4)[/tex]
Odp. Proste zawierajace nierownolegle boki przecinaja sie w punkcie (-3; 4)
b)
przekatne trapezu to proste zawierajace boki AC i BD.
Wyznaczamy wzor prostej zawierajacej punkty AC
[tex]\left \{ {{-2=-a+b} \atop {3=a+b}} \right.\\1 = 2b\\b = \frac12\\3 = a+\frac12\\2\frac12=a\\\frac52=a\\y = \frac52x+\frac12[/tex]
Wyznaczamy wzor prostej zawierajacej punkty BD
[tex]\left \{ {{2 = 5a + b/*2} \atop {1 = -2a + b /*5}} \right. \\\left \{ {{4=10a+2b} \atop {5=-10a+5b}} \right. \\9=7b\\b = \frac97\\1 = -2a+\frac97\\1-\frac97=-2a\\\frac77-\frac97=-2a\\-\frac27=-2a /*(-\frac12)\\a = -\frac{2}{7} * (-\frac12)\\a = \frac17\\y = \frac17x+\frac97[/tex]
Wyznaczamy punkt przeciecia sie obu prostych:
[tex]\left \{ {{y=\frac52x+\frac12} \atop {y=\frac17x+\frac97}} \right. \\\frac52x+\frac12=\frac17x+\frac97\\\frac52x-\frac17x=\frac97x-\frac12\\\frac{35}{14}x-\frac{2}{14}x=\frac{18}{14} - \frac{7}{14}\\\frac{33}{14}x=\frac{11}{14} /*14\\33x=11 /:33\\x = \frac{11}{33} = \frac13[/tex]
[tex]y = \frac52*\frac13+\frac12\\y = \frac56+\frac12\\y = \frac56+\frac36\\y = \frac86 = \frac43[/tex]
Odp. Proste zawierajace przekatne trapezu przecinaja sie w punkcie ([tex]\frac13; \frac43[/tex])
