Odpowiedź:
Nie istnieje (pierwsza wersja)
m = 1 v m = 3 (druga wersja)
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x^2+(2m-1)x+4m-6=0\\\\a=1,\ b=2m-1,\ c=4m-6[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\\Delta\geq0&(2)\\2x_1-6x_2=14&(3)\end{array}\right[/tex]
[tex](1)\\a=1\neq0\Rightarrow \huge\boxed{m\in\mathbb{R}}\\\\\\(2)\\\Delta=(2m-1)^2-4\cdot1\cdot(4m-6)=(2m)^2-2\cdot2m\cdot1+1^2-16m+24\\=4m^2-4m+1-16m+24=4m^2-20m+25\\\\\Delta\geq0\iff4m^2-20m+25\geq0\\(2m)^2-2\cdot2m\cdot5+5^2\geq0\\(2m-5)^2\geq0\Rightarrow \huge\boxed{m\in\mathbb{R}}[/tex]
[tex](3)\\2x_1-6x_2=14\qquad|:2\\x_1-3x_2=7\\\\x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]
No i tu jest nieścisłość. Bo to jest tak jak powyżej, czy:
[tex]x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}[/tex]
podstawiamy:
[tex]x_1=\dfrac{-(2m-1)-\sqrt{(2m-5)^2}}{2\cdot1}=\dfrac{-2m+1-|2m-5|}{2}\\\\x_2=\dfrac{-(2m-1)+\sqrt{(2m-5)^2}}{2\cdot1}=\dfrac{-2m+1+|2m-5|}{2}[/tex]
Dla pierwszej wersji mamy:
[tex]x_1-3x_2=7\\\Downarrow\\\dfrac{-2m+1-|2m-5|}{2}-3\cdot\dfrac{-2m+1+|2m-5|}{2}=7\qquad|\cdot2\\\\-2m+1-|2m-5|-3\bigg(-2m+1+|2m-5|\bigg)=14\\\\-2m+1-|2m-5|+6m-3-3|2m-5|=14\\\\4m-4|2m-5|-2=14\qquad|+2\\\\4m-4|2m-5|=16\qquad|-4m\\\\-4|2m-5|=16-4m\qquad|:(-4)\\\\|2m-5|=m-4[/tex]
Rozpisujemy wartość bezwzględną:
[tex]|2m-5|=\left\{\begin{array}{ccc}2m-5&\text{dla}&2m-5\geq0\to m\geq2,5\\5-2m&\text{dla}&m < 2,5\end{array}\right[/tex]
[tex]Dla\ x<2,5\to x\in(-\infty;\ 2,5)[/tex]
[tex]5-2m=m-4\qquad|-5\\-2m=m-9\qquad|-m\\-3m=-9\qquad|:(-3)\\m=3\notin(-\infty;\ 2,5)[/tex]
[tex]Dla\ x\geq2,5\to x\in\left<2,5;\ \infty\right)[/tex]
[tex]2m-5=m-4\qquad|+5\\2m=m+1\qquad|-m\\m=1\notin\left < 2,5;\ \infty\right)[/tex]
Wniosek: [tex]x\in\O[/tex]
Odp: Nie istnieje tak wartość parametru m.
Dla drugiej wersji mamy:
[tex]x_1-3x_2=7\\\Downarrow\\\dfrac{-2m+1+|2m-5|}{2}-3\cdot\dfrac{-2m+1-|2m-5|}{2}=7\qquad|\cdot2\\\\-2m+1+|2m-5|-3\bigg(-2m+1-|2m-5|\bigg)=14\\\\-2m+1+|2m-5|+6m-3+3|2m-5|=14\\\\4m+4|2m-5|-2=14\qquad|+2\\\\4m+4|2m-5|=16\qquad|-4m\\\\-4|2m-5|=16-4m\qquad|:4\\\\|2m-5|=4-m[/tex]
Rozpisujemy wartość bezwzględną:
[tex]|2m-5|=\left\{\begin{array}{ccc}2m-5&\text{dla}&2m-5\geq0\to m\geq2,5\\5-2m&\text{dla}&m < 2,5\end{array}\right[/tex]
[tex]Dla\ x < 2,5\to x\in(-\infty;\ 2,5)[/tex]
[tex]5-2m=4-m\qquad|-5\\-2m=-1-m\qquad|+m\\-m=-1\qquad|:(-1)\\m=1\in(-\infty;\ 2,5)[/tex]
[tex]Dla\ x\geq2,5\to x\in\left<2,5;\ \infty\right)[/tex]
[tex]2m-5=4-m\qquad|+5\\2m=9-m\qquad|+m\\3m=9\qquad|:3\\m=3\in\left < 2,5;\ \infty\right)[/tex]
Odp: [tex]m=1\ \vee\ m=3[/tex]
