Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\cos\alpha+\cos\alpha\cdot\text{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}}\\\boxed{(\cos\alpha+\text{tg}\alpha\cdot\sin\alpha)\cdot\text{ctg}\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\cos\alpha+\cos\alpha\cdot\text{tg}^2\alpha=\cos\alpha+\cos\alpha\cdot\left(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2=\cos\alpha+\cos\alpha\cdot\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\\\=\cos\alpha+\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{1}{\cos\alpha}[/tex]
Skorzystaliśmy z tożsamości trygonometrycznych:
[tex]\text{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
[tex](\cos\alpha+\text{tg}\alpha\cdot\sin\alpha)\cdot\text{ctg}\alpha=\cos\alpha\text{ctg}\alpha+\text{ctg}\alpha\text{tg}\alpha\sin\alpha\\\\=\cos\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\sin\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}+\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{\sin\alpha}[/tex]
Skorzystaliśmy z tożsamości trygonometrycznych:
[tex]\text{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\\\\\text{tg}x\cdot\text{ctg}x=1\\\\\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
