Odpowiedź:
Dowody poniżej.
Szczegółowe wyjaśnienie:
b)
[tex]10x^2-12xy+7y^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x,y\in\mathbb{R}\\\\9x^2-12xy+4y^2+x^2+3y^2\\\\=\underbrace{(3x)^2-2\cdot(3x)\cdot(2y)+(2y)^2}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}+x^2+3y^2\\\\=(3x-2y)^2+x^2+3y^2\\\\\text{dla}\ x,y\in\mathbb{R}\\\\(3x-2y)^2\geq0\\x^2+3y^2\geq0\\\\\text{stad}\\\\(3x-2y)^2+x^2+3y^2\geq0\Rightarrow10x^2-12xy+7y^2\geq0\\\\\blacksquare[/tex]
c) n ≥ 1
[tex]3^n+3^{n+1}+3^{n+2}+3^{n+3}\\\\=3^n+3\cdot3^n+3^2\cdot3^n+3^3\cdot3^n\\\\=3^n\cdot(1+3+3^2+3^3)\\\\=3^n\cdot(1+3+9+27)\\\\=3^n\cdot40\\\\=3\cdot\dfrac{3^n}{3}\cdot40\\\\=3^{n-1}\cdot120[/tex]
Liczba jest wielokrotnością liczby 120, stąd jest podzielna przez 120.
■
