Trójkąt równoboczny, geometria analityczna.
- Najpierw wyznaczamy długość boku trójkąta:
[tex]|AB| = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = 2\sqrt2[/tex] - Następnie są różne metody (można np. wykonać obrót o kąt albo poprowadzić prostą prostopadłą (wysokość), a następnie wykonać przesunięcie o wektor (wysokość trójkąta)), ale sprytnie jest napisać dwa równania okręgów) z punktu A o promieniu [tex]2 \sqrt2[/tex] i z punktu B o promieniu [tex]2 \sqrt2[/tex] - punkt C musi spełniać oba.
- Mamy więc równania okręgów:
[tex](x-0)^2 + (y-2)^2 = (2\sqrt2)^2\\(x-2)^2 + (y-0)^2 = (2\sqrt2)^2[/tex]
co upraszczamy:
[tex]x^2 + (y^2 -4y + 4) = 8\\(x^2 -4x +4) + y^2 = 8[/tex]
i odejmujemy stronami:
[tex]-4y +4x =0[/tex]
czyli
[tex]x=y[/tex] - Wstawiamy następnie do wybranego z równań kwadratowych dostając:
[tex]x^2 + x^2 - 4x + 4 = 8\\2x^2 -4x -4 = 0\\x^2 -2x-2=0\\(x-1)^2 -3=0\\(x-1-\sqrt3)(x-1+\sqrt3) = 0[/tex] - Co finalnie odpowiada punktom:
[tex](1 + \sqrt3, 1 + \sqrt3) \quad lub \quad (1 - \sqrt3, 1 - \sqrt3)[/tex]
Ogólna postać równania okręgu to:
[tex](x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2[/tex]
gdzie:
- [tex](x_0, y_0)[/tex] to współrzędne środka okręgu
- [tex]R[/tex] to długość promienia okręgu
