Krok 1. Wyznaczamy równanie symetralnej.
Z równania prostej przechodzącej przez 2 dane punkty:
[tex]y-y_p=\dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}(x-x_P)\\\\\\y-1=\dfrac{9-1}{6-2}(x-2)\\\\y-1=\dfrac{8}{4}(x-2)\\\\y=2x-4+1\\\\y=2x-3[/tex]
Krok 2. Wyznaczamy równanie prostej zawierającej odcinek AB.
Odcinek i jego symetralna są prostopadłe, czyli iloczyn współczynników kierunkowych symetralnej i prostej zawierjącej odcinek wynosi -1.
Stąd współczynnik kierunkowy prostej AB:
[tex]a_{PQ}\cdot a_{AB}=-1\\\\2\cdot a_{AB}=-1\qquad/:2\\\\a_{AB}=-\frac12[/tex]
Prosta ta przechodzi przez punkt A=(2, 7)
Z równania prostej o znanym współczynniku kierunkowym, przechodzącej przez dany punkt:
[tex]y-y_A=a_{AB}(x-x_A)\\\\\\y-7=-\frac12(x-2)\\\\y=-\frac12x+1+7\\\\y=-\frac12x+8[/tex]
Krok 3. Wyznaczamy punkt przecięcia obu prostych.
Punkt przecięcia prostych należy jednocześnie do obu z nich, czyli:
[tex]y=2x-3\qquad\wedge\qquad y=-\frac12x+8\\\\{}\qquad\qquad\qquad y=y\\\\{}\qquad \quad 2x-3=-\frac12x+8\\\\{}\qquad\quad\ 2x+\frac12x=8+3\\\\{}\qquad \qquad \quad\frac52x=11\qquad/\cdot\frac25\\\\{}\qquad\qquad\quad x=\frac{22}5\\\\y=2x-3=2\cdot\frac{22}5-\frac{15}5=\frac{44-15}5=\frac{29}5[/tex]
Punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem ma współrzędne: [tex]\left(\frac{22}5\,;\ \frac{29}5\right)[/tex]
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu B
Symetralna przechodzi przez środek odcinka AB, czyli wyznaczony punkt jest jego środkiem.
Stąd:
[tex]\dfrac{x_A+x_B}2=\dfrac{22}5\qquad\qquad\wedge\qquad\qquad \dfrac{y_A+y_B}2 =\dfrac{29}5 \\\\ {}\ \ \dfrac{2+x_B}2=\dfrac{22}5\qquad\qquad\wedge\qquad\qquad \dfrac{7+y_B}2=\dfrac{29}5\\\\ 5(2+x_B)=44\qquad\qquad\wedge\qquad\qquad 5(7+y_B)=29\\\\ 10+5x_B=44\qquad\qquad\wedge\qquad\qquad 35+5y_B=58 \\\\ {}\qquad 5x_B=34\qquad\qquad\wedge\qquad\qquad 5y_B=23\\\\ {}\qquad x_B=\frac{34}5\qquad\qquad\ \ \wedge\qquad\qquad y_B=\frac{23}5[/tex]
Odp.: Punkt B ma współrzędne: [tex]\bold{\left(\dfrac{34}5\,;\ \dfrac{23}5\right)}[/tex]
