Zadanie 1.
[tex]\frac{x+2}{x^2-4x}\qquad x=-\frac{1}{3}\\\frac{-\frac{1}{3}+2}{(-\frac{1}{3})^2-4*(-\frac{1}{3})}=\frac{-\frac{1}{3}+\frac{6}{3}}{\frac{1}{9}+\frac{4}{3}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{9}+\frac{12}{9}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{13}{9}}=\frac{5}{3}*\frac{9}{13}=\frac{5}{1}*\frac{3}{13}=\frac{15}{13}=1\frac{2}{13}[/tex]
Zadanie 2.
[tex]P=(-2\sqrt2,-\sqrt2)\qquad f(x)=\frac{a}{x},\ x\neq 0\\f(-2\sqrt2)=-\sqrt2\\\frac{a}{-2\sqrt2}=-\sqrt2\ |*(-2\sqrt2)\\a=-\sqrt2*(-2\sqrt2)\\a=4\\f(x)=\frac{4}{x}\\Q=(4,2)\\f(4)=\frac{4}{4}=1\neq 2[/tex]
Punkt Q nie należy do wykresu funkcji.
Zadanie 3.
[tex]f(x)=-\frac{6}{x-3}+2[/tex]
Asymptoty:
- pozioma [tex]y=2[/tex]
- pionowa [tex]x=3[/tex]
Znajdźmy kilka punktów należących do wykresu.
[tex]f(-3)=-\frac{6}{-3-3}+2=-\frac{6}{-6}+2=1+2=3\\f(-1)=-\frac{6}{-1-3}+2=-\frac{6}{-4}+2=1\frac{1}{2}+2=3\frac{1}{2}\\f(0)=-\frac{6}{0-3-3}+2=-\frac{6}{-3}+2=2+2=4\\f(1)=-\frac{6}{1-3}+2=-\frac{6}{-2}+2=3+2=5\\f(4)=-\frac{6}{4-3}+2=-\frac{6}{1}+2=-6+2=-4\\f(6)=-\frac{6}{6-3}+2=-\frac{6}{3}+2=-2+2=0\\f(9)=-\frac{6}{9-3}+2=-\frac{6}{6}+2=-1+2=1[/tex]
Wykres w załączniku.
[tex]ZW_f=\mathbb{R}-\{2\}[/tex]
Zadanie 4.
a)
[tex]\frac{x-3}{x}=\frac{x+1}{x+2}\\x(x+1)=(x-3)(x+2)\\x^2+x=x^2+2x-3x-6\\x=-x-6\\2x=-6\ |:2\\x=-3[/tex]
b)
[tex]\frac{x^2-2x-3}{x-3}=2x\ |*(x-3)\\x^2-2x-3=2x(x-3)\\x^2-2x-3=2x^2-6x\\-x^2+4x-3=0\ |*(-1)\\x^2-4x+3=0\\\Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4\\\sqrt\Delta=2\\x_1=\frac{4-2}{2}=1\\x_2=\frac{4+2}{2}=3[/tex]
Drugi wynik nie spełnia założenia, więc ostatecznie
[tex]x=1[/tex]
Zadanie 5.
a)
[tex]\frac{2x+6}{4x^2}:\frac{3x+9}{8x}[/tex]
Założenie:
[tex]4x^2\neq 0\land 3x+9\neq 0\land 8x\neq 0\\x^2\neq 0\land 3x\neq -9\land x\neq 0\\x\neq 0\land x\neq -3\land x\neq 0\\x\neq -3\land x\neq 0\\D=\mathbb{R}-\{-3,0\}[/tex]
Działania:
[tex]\frac{2x+6}{4x^2}:\frac{3x+9}{8x}=\frac{2x+6}{4x^2}*\frac{8x}{3x+9}=\frac{2(x+3)}{4x^2}*\frac{8x}{3(x+3)}=\frac{4}{3x}[/tex]
b)
[tex]\frac{x+3}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}[/tex]
Założenie:
[tex]x-1\neq 0\land x+1\neq 0\\x\neq 1\land x\neq -1\\D=\mathbb{R}-\{-1,1\}[/tex]
Działania:
[tex]\frac{x+3}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+x+3x+3}{(x-1)(x+1)}-\frac{x^2-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+x+3x+3-x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\\=\frac{4x+4}{(x-1)(x+1)}=\frac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{4}{x-1}[/tex]
Zadanie 6.
V - prędkość pieszego
V + 18 - prędkość rowerzysty
Pieszy i rowerzysta spotkali się po upływie czasu t.
[tex]t=\frac{s}{V}[/tex]
[tex]\frac{15}{V}=\frac{75-15}{V+18}\\\frac{15}{V}=\frac{60}{V+18}\\60V=15(V+18)\\60V=15V+270\\45V=270\ |:45\\V=6\frac{km}{h}\\V+18\frac{km}{h}=24\frac{km}{h}[/tex]
Odp: Średnia prędkość pieszego to 6 km/h, a rowerzysty to 24 km/h.
