Odpowiedź:
[tex]$f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=\sqrt{1-\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2} }{3}\approx0,9428$[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rozważmy funkcję:
[tex]$f(x)=\mathrm{sin}\big(\mathrm{arccos}(x)\big)$[/tex]
Wiadomo, że
[tex]$\mathrm{sin}^2\big(\xi\big)+\mathrm{cos}^2\big(\xi\big)=1$[/tex]
Zapiszmy więc, że
[tex]$\forall \ x\in\big \langle -1 \ ; \ 1\big\rangle\ \wedge \ \xi=\mathrm{arccos}\big(x\big)\Longrightarrow\xi\in\big \langle 0 \ ; \ \pi\big\rangle$[/tex]
Stąd
[tex]$\mathrm{sin}\big(\xi\big)\geq0$[/tex]
Podsumowując:
[tex]$f(x)=\mathrm{sin}\big(\mathrm{arccos}(x)\big)=\mathrm{sin}\big(\xi\big)=\sqrt{1-\mathrm{cos}^2\big(\xi\big)}=\sqrt{1-x^2}$[/tex]
Pozostaje tylko obliczenie wartości z zadania
[tex]$f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=\sqrt{1-\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2} }{3}\approx0,9428$[/tex]
