Odpowiedź:
x=π/2+2kπ
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\sin x-2=\cos 2x[/tex]
skorzystamy z jednej z tożsamości trygonometrycznych dla cosinusa podwojonego kąta:
[tex]\cos 2x= 1-2\sin^2x[/tex]
otrzymamy równanie:
[tex]\sin x - 2 = 1-2\sin^2x\\2\sin^2x+\sin x-3=0[/tex]
Dostaliśmy równanie kwadratowe. Dla ułatwienia obliczeń oznaczmy sobie:
[tex]k=\sin x[/tex]
[tex]2k^2+k-3=0\\\Delta = 1-4\cdot2\cdot (-3)=1+24=25\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{25} = 5\\k_1=\dfrac{-1-5}{2\cdot2}=-\dfrac{3}{2}\\k_2=\dfrac{-1+5}{2\cdot 2}=1[/tex]
Wracamy teraz do sinusów:
[tex]\sin x = -\dfrac{3}{2} \quad \lor\quad \sin x = 1[/tex]
pierwsze rozwiązanie odrzucamy: -3/2 jest poza zbiorem wartości funkcji sinus.
pozostaje nam:
[tex]\sin x = 1\\x=\dfrac{\pi}{2} + 2k\cdot \pi,\quad k\in\mathbb{Z}[/tex]
