Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Z tw. Pitagorasa mamy związek:
[tex]l^2=r^2+(\sqrt{55})^2\\l^2=r^2+55\\l^2-r^2=55[/tex]
Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o kącie [tex]\alpha=135^\circ[/tex], zatem zachodzi związek między obwodem podstawy a długością łuku wycinka:
[tex]2\pi r=\frac{\alpha}{360^\circ}*2\pi l\ |:2\pi\\r=\frac{135^\circ}{360^\circ}*l\\r=\frac{3}{8}l[/tex]
Wstawiając to wyrażenie do pierwszego równania otrzymujemy:
[tex]l^2-(\frac{3}{8}l)^2=55\\l^2-\frac{9}{64}l^2=55\\\frac{55}{64}l^2=55\ |:\frac{55}{64}\\l^2=55*\frac{64}{55}\\l^2=64\\l=8\ cm\\r=\frac{3}{8}*8=3\ [cm][/tex]
Zatem szukane wielkości to:
[tex]P=\pi r^2+\pi rl\\P=\pi*3^2+\pi*3*8=9\pi+24\pi=33\pi\ [cm^2]\\V=\frac{1}{3}\pi r^2*H\\V=\frac{1}{3}\pi*3^2*\sqrt{55}=3\pi\sqrt{55}\ [cm^3][/tex]
