Punkt przeciecia się symetralnych boków trójkąta prostokątnego znajduje się w odleglości odpowiednio 8 cm i 15 cm od przyprostokątnych. Oblicz: a) promieni okręgu opisanego na tym trójkącie, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zaczynamy od rysunku (poniżej).
Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się zawsze w punkcie przecięcia jego symetralnych. W przypadku trójkąta prostokątnego punkt ten pokrywa się z środkiem przeciwprostokątnej (która jest dodatkowo średnicą okręgu).
Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć długość czerwonego odcinka BD:
[tex]|BD| = \sqrt{15^2+8^2} = \sqrt {225+64}= \sqrt {289} = 17 [cm][/tex]
jest to także promień okręgu opisanego na trójkącie.
Z kolei promień okręgu wpisanego możemy obliczyć, korzystając z dwóch wzorów na pole trójkąta:
[tex]P_\Delta = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} (a+b+c)r[/tex]
Symetralne dzielą boki na połowy stąd (i z twierdzenia Pitagorasa) boki trójkąta to:
[tex]2*8cm = 16cm\\2*15cm = 30cm \\\sqrt{16^2+30^2} = \sqrt{1156} = 34 [cm][/tex]
Łącząc powyższe dostajemy:
[tex]P_\Delta = \frac{1}{2} * 16*30 = 240 [cm^2][/tex]
zaś z drugiego wzoru:
[tex]r = 2* 240 / (16+30 + 34) = 6 [cm][/tex]
jest to promień okręgu wpisanego w trójkąt.

Warto zapamiętać:

promień okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia symetralnych jego boków;
promień okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów;
oraz dwa przydatne wzory na pola trójkąta:
[tex]P_\Delta = \frac{1}{2} (a+b+c)r = \frac{abc}{4R}[/tex]
wiążące długości boków z promieniami okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt.