Odpowiedź:
Należy wziąć 9 wyrazów do sumy tego ciągu, aby wartość sumy była największa.
Największa wartość sumy wynosi 9•4 + 4,5 = 40,5
Szczegółowe wyjaśnienie:
W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej różnicy d = r więc napiszemy kilka wyrazów tego ciągu:
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = a1 + 4d po tych kilku utworzonych wyrazach
_________________ możemy już napisać wzór ogólny ciągu:
an = a1 + (n-1)d
z tej zależności na an możemy sobie ułożyć równania (układ równań) czytając treść zadania.
Suma n wyrazów postępu arytmetycznego:
Sn = n(a1 + an)/2, to podstawiając: an = a1 + (n-1)d
otrzymamy Sn = n[2a1 + (n - 1)d]/2
Rozwiniemy ten ciąg, napiszemy wyrazy ciągu: bn = 10,5 - n, n>1
8,5; 7,5; 6,5; 5,5; 4,5; 3,5; 2,5; 1,5; 0,5; -0,5; -1,5; -2,5; -3,5; ..., an.
Jak wynika z przedstawionej "ilustracji" - rozwinięcia wyrazów ciągu,
suma ciągu (wyrazów dodatnich) rośnie do wyrazu 9 - tego, następne wyrazy są ujemne, więc suma maleje.
Odpowiedź: Należy wziąć 9 wyrazów do sumy tego ciągu, aby wartość sumy była największa.
Sumę tych 9 - ciu wyrazów obliczymy następująco:
Utworzymy pary skrajnych dodatnich wyrazów ciągu:
8,5 + 0,5 = 9; 7,5 + 1,5 = 9; 6,5 + 2,5 = 9; 5,5 + 3,5 = 9
Mamy cztery pary o takiej samej sumie 9, ale możemy wziąć tylko pierwszą parę: S8 = (8,5 + 0,5)•8/2 = Sn = n•(a1 + an)/2, z takiej analogii wywodzi się wzór na sumę n - wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wracając do sumy, S8 = 9•4 = 36 (+ 4,5; bo wyraz a5 = 4,5 został bez pary)
Odpowiedź:
Największa wartość sumy wynosi 9•4 + 4,5 = 40,5
