Odpowiedź:
Rysunek w załączniku :)
[tex]f(x)=(m+1)x^2-2\sqrt{2}x+m+2[/tex]
Założenia:
1)
m+1≠0 ⇔ m≠-1 ponieważ, dla m=-1 otrzymamy funkcję liniową, a wtedy nie będzie dwóch miejsc zerowych.
2)
Δ>0 chcemy otrzymać dwa miejsca zerowe. Tylko przy takim założeniu je odnajdziemy!
3)
x₁x₂-m≥0 Wykorzystamy wzory Viete'a!
Pierwsze założenie mamy już za sobą. Zajmijmy się drugim!
[tex]f(x)=(m+1)x^2-2\sqrt{2}x+m+2[/tex]
Δ>0
[tex]\Delta=(-2\sqrt{2})^2-4(m+1)(m+2) > 0\\\\\Delta=8-4(m^2+2m+m+2) > 0\\\\\Delta=8-4(m^2+3m+2) > 0\\\\\Delta=8-4m^2-12m-8 > 0\\\\-4m^2-12m > 0[/tex]
[tex]-4m(m+3) > 0[/tex] postać iloczynowa
miejsca zerowe:
1) 2)
-4m=0 /:(-4) m+3=0
m=0 m=-3
Funkcja ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny:
Zatem nierówność jest spełniona dla:
m∈(-3;0)
Zajmijmy się ostatnim założeniem!
x₁x₂-m≥0
Korzystając ze wzorów Viete'a:
[tex]x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{m+2}{m+1}[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{m+2}{m+1}-m\geq 0 \ \ \ \ /*(m+1)^2\\\\(m+2)(m+1)-m(m+1)^2\geq 0\\\\m^2+m+2m+2-m(m^2+2m+1)\geq 0\\\\m^2+3m+2-m^3-2m^2-m\geq 0\\\\-m^3-m^2+2m+2\geq 0\\\\-m^2(m+1)+2(m+1)\geq 0\\\\[/tex]
[tex](m+1)(2-m^2) \geq 0\\[/tex] postać iloczynowa
miejsca zerowe:
1) 2)
m+1=0 2-m²=0
m=-1 -m²=-2 /*(-1)
m²=2 /√
m=√2 ∨ m=-√2
Odp.Wszystkie warunki spełnione są dla:
m∈(-3;-√2> ∪ (-1;0)
Szczegółowe wyjaśnienie:
