a)
Graniastoslup prawidlowy czworokatny ma w podstawie kwadrat.
[tex]Pp=a^2\\Pp=64cm^2\\a^2=64cm^2\\a=8cm[/tex]
Przekatna graniastoslupa (D) tworzy z przekatna podstawy (d) oraz wysokoscia graniastoslupa (H) trojkat prostokatny o katach 90, 45, 45 (45 z tresci zadania).
Zatem:
[tex]d^2+H^2=D^2\\d=a\sqrt2=8\sqrt2\\\\\text{Z wlasnosci trojkata o katach 90, 45, 45 wynika ze: }\\H=d=8\sqrt2\\\\V=Pp*H\\V=64cm^2*8\sqrt2cm=512\sqrt2cm^3[/tex]
b)
Z wlasnosci trojkata o katach 90, 30, 60 wynika, ze:
[tex]H=d\sqrt3\\D=2d\\\\10=2d /:2\\5=d\\\\H=5\sqrt3\\\\a\sqrt3=d\\a\sqrt3=5 /:\sqrt3\\a=\frac{5}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}3\\Pp=a^2=(\frac{5\sqrt3}3)^2=\frac{75}9=8\frac13cm^2\\Pb=aH=\frac{5\sqrt3}3*5\sqrt3=\frac{5\sqrt3*5\sqrt3}3=\frac{25*3}3=25cm^2\\\\Pc=2Pp+4Pb\\Pc=2*8\frac13cm^2+4*25cm^2=16\frac23cm^2+100cm^2=(16\frac23+100)cm^2=116\frac23cm^2[/tex]
