Odpowiedź:
[tex]\boxed{L=10\sqrt{2} ~~,~~e=5~~,~~f=5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wprowadzam oznaczenia ( rysunek w załączniku):
e, f - długości przekątnych rombu
d - długości boków rombu ( romb - ma wszystkie boki równej długości )
Wiemy, że : e + f = 10
Wzór na pole rombu: [tex]P=\dfrac{e\cdot f}{2}[/tex]
[tex]P(e)=\dfrac{e\cdot (10-e)}{2} \\\\P(e)=\dfrac{-e^{2} +10e}{2}\\\\P(e)=-\dfrac{1}{2} e^{2} +5e\\\\a=-\dfrac{1}{2} ~~\Rightarrow~~a < 0~~\Rightarrow~~ramiona ~~paraboli~~skierowane~~w~~dol[/tex]
Funkcja P(e) ma największą wartość dla e=p
[tex]p=\dfrac{-b}{2a} ~~\land~~b=5~~\land~~a=-\dfrac{1}{2} ~~\Rightarrow~~p=\dfrac{-5}{2\cdot (-\frac{1}{2} )} =5[/tex]
[tex]e=p~~\land~~p=5~~\Rightarrow~~\boxed{e=5}\\\\e=5~~\land~~f=10-e~~\Rightarrow~~\boxed{f=5}[/tex]
Przekątne e oraz f są sobie równe ⇒ romb jest kwadratem.
Korzystam z Twierdzenia Pitagorasa by obliczyć długość boku kwadratu ( rysunek - żółty trójkąt).
[tex]d^{2} =(\dfrac{e}{2} )^{2} +(\dfrac{f}{2} )^{2} ~~\land~~e=f=5\\\\d^{2} =(\dfrac{5}{2} )^{2} +(\dfrac{5}{2} )^{2} \\\\d^{2} =\dfrac{25}{4} +\dfrac{25}{4} \\\\d^{2} =\dfrac{50}{4}~~\land~~d > 0~~\Rightarrow~~d=\sqrt{ \dfrac{50}{4}} =\dfrac{5\sqrt{2} }{2}[/tex]
Mający daną długość boku rombu możemy obliczyć jego obwód.
[tex]L=4\cdot d~~\land ~~d=\dfrac{5\sqrt{2} }{2} \\\\L=4\cdot \dfrac{5\sqrt{2} }{2} \\\\\boxed{L=10\sqrt{2} }[/tex]
Odp: Obwód rombu, który jest kwadratem wynosi 10√2 a jego przekątne mają długości e=5 oraz f=5.
