Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P\left(4,\ \dfrac{1}{2}\right)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B;\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}[/tex]
[tex]p\%=\dfrac{p}{100}\\\\100\%-40\%=60\%\\\\60\%=\dfrac{60}{100}=0,6\\\\|AP|=0,6|PB|[/tex]
Niech:
[tex]P(a,\ b)[/tex]
wtedy:
[tex]|AP|=\sqrt{(a-(-2))^2+(b-4)^2}=\sqrt{(a+2)^2+(b-4)^2}\\\\|PB|=\sqrt{(10-a)^2+(-3-b)^2}\\\\|AP|=0,6|PB|\Rightarrow\sqrt{(a+2)^2+(b-4)^2}=\sqrt{(10-a)^2+(-3-b)^2}\\\\(a+2)^2+(b-4)^2=(10-a)^2+(-3-b)^2}[/tex]
skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
[tex](a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2[/tex]
[tex]a^2+4a+4+b^2-8b+16=100-20a+a^2+9+6b+b^2[/tex]
redukujemy po oba stronach [tex]a^2[/tex] i [tex]b^2[/tex]:
[tex]4a-8b+20=-20a+6b+109\qquad|-6b+20a-20\\\\24a-14b=89\qquad(1)[/tex]
Mamy pierwsze równanie.
Drugie weźmiemy z prostej AB.
Podstawiamy współrzędne punktu do równania kierunkowego prostej y = ax + b:
[tex]\underline{-\left\{\begin{array}{ccc}4=-2a+b\\-3=10a+b\end{array}\right}\\.\qquad7=-12a\qquad|:(-12)\\.\qquad a=-\dfrac{7}{12}[/tex]
Podstawiamy do pierwszego równania:
[tex]4=-2\cdot\left(-\dfrac{7}{12}\right)+b\\\\4=\dfrac{7}{6}+b\qquad|-\dfrac{7}{6}\\\\b=\dfrac{17}{6}[/tex]
[tex]y=-\dfrac{7}{12}x+\dfrac{17}{6}[/tex]
Otrzymujemy drugie równanie podstawiając współrzędne punktu P:
[tex]b=-\dfrac{7}{12}a+\dfrac{17}{6}\qquad(2)[/tex]
Układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}24a-14b=89\\b=-\dfrac{7}{12}a+\dfrac{17}{6}&|\cdot12\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}24a-14b=89\\12b=-7a+34&|+7a\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}24a-14b=89&|\cdot6\\7a+12b=34&|\cdot7\end{array}\right\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}144a-84b=534\\49a+84b=238\end{array}\right}\\.\qquad193a=772\qquad|:193\\.\qquad\boxed{a=4}[/tex]
Podstawiamy do drugiego równania:
[tex]b=-\dfrac{7}{12}\cdot4+\dfrac{17}{6}\\\\b=-\dfrac{14}{6}+\dfrac{17}{6}\\\\b=\dfrac{3}{6}\\\\\boxed{b=\dfrac{1}{2}}[/tex]
