Odpowiedź:
13. Wyraz a1 jest równy: A. 12
14. Wyraz a1 jest równy A. 256/81
15. A. tgα = 3/4
16. Wyrażenie (1 - coc²α)/ cosa jest równe D. tgα • sinα
Szczegółowe wyjaśnienie:
13.
W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy r do wyrazu poprzedniego, utworzymy kilka wyrazów:
a1 = a1,
a2 = a1 + r,
a3 = a1 + 2r,
a4 = a1 + 3r,
a5 = a1 + 4r, więc widać już wzór na wyraz ogólny ciągu:
____________
an = a1 + (n - 1)r
Z danych zadania mamy: a21 = 2012, r = 100, obliczyć a1 = ?
Ze wzoru ogólnego mamy: a21 = a1 + (21- 1)•100 = 2012 to
a1 + (20)•100 = 2012 to
a1 = (20)•100 = 2012 - 20 •100 = 2012 - 2000 = 12
to Odpowiedź: Wyraz a1 jest rowny: A. 12
14.
W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, utworzymy kilka wyrazów ciągu:
a1 = a1
a2 = (a1)•q
a3 = (a1)•q•q = (a1)•q²
a4 = (a1)•q²•q = (a1)•q³
a5 = (a1)•q³•q = (a1)•q⁴, (- z tych kilku wyrazów ciągu można już zauważyć
........................................... zależność na ogólny wyraz ciągu):
an = (a1)•q^{n-1}, an = a1 razy q do potęgi {n-1}, a z tej zależności na an możemy sobie ułożyć jakieś równania (układ równań) czytając treść zadania:
Dane z treści zadania: a1 = 3/4, a2 = 1, Obliczyć a5 = ?
Jeżeli wyraz następny powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, to iloraz q możemy obliczyć przez podzielenie dowolnego wyrazu następnego przez jego wyraz poprzedni:
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ..., = a(n+1)/an
Z danych zadania mamy: q = a2/a1 = 1:(3/4) = 1•(4/3) = 4/3
Sprawdzenie: a2 = (a1)•q to 1 = (3/4)•(4/3) = 1, co należało sprawdzić.
Mamy obliczyć a5, z wyrazu ogólnego a5 = (a1)•q⁴ = 1•(4/3)⁴ = 256/81
a5 = (a1)•q⁴ = 1•(4/3)⁴ = 256/81 = 243/81 + 13/81 = 3 + 13/81 = 3i13/81
Odpowiedź: Wyraz a1 jest równy A. 256/81
15.
cosα = 4/5 i α jest kątem ostrym.
Rysujemy trójkąt prostokątny, poziomą przyprostokątną, zgodnie z def. funkcji cosα oznaczamy 4, przeciwprostokątną oznaczamy 5 a między nimi zaznaczamy kąt α, szukaną przyprostokątną pionową
oznaczamy x, z tw. Pitagorasa mamy:
x² + 4² = 5² to x² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9 to x = 3 bo 3² = 9,
na trójkącie przy x dopisujemy 3, ...teraz z opisanego trójkąta możemy napisać wszystkie funkcje kąta α, to mamy:
sinα = 3/5; tgα = 3/4; ctgα = 4/3.
Patrzymy na zadaniu co tam "Oni" nam napisali:
Pasuje tylko tgα = 3/4, to Odpowiedź: A. tgα = 3/4
16.
Co nam tu napisali: że wyrażenie (1 - coc²α)/ cosa jest równe:
Rysujemy trójkąt prostokątny, oznaczamy tradycyjnie, przyprostokątna pozioma a, pionowa b, przeciwprostokątna c, kąt α przy poziomej przyprostokątnej.
Napiszemy sobie z tego trójkąta takie takie równanie, wyrażenie:
(a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c²,
ale my wiemy, że dla tego trójkąta, to z tw. Pitagorasa: a² + b² = c²
więc nasze równanie napiszemy jeszcze raz, ale już uwzględnimy to ostatnie spostrzeżenie, wiec mamy:
(a/c)² + (b/c)² = c²/c² = 1. Wiemy jeszcze, że sinα = a/c, cosα = b/c,
więc napiszemy jeszcze raz nasze równanie: sin²α + cos²α = 1
Wyprowadziliśmy chyba najbardziej znany wzór, popularnie określa się go jako jedynka trygonometryczna czy jedynka "Pitagoryjska" (nie ma ścisłej nazwy.
Napiszemy nasze wyrażenie z zadania: (1 - coc²α)/ cosa,
Z jedynki trygonometrycznej bardzo często się korzysta, więc my też skorzystamy:
sin²α + cos²α = 1 to sin²α = 1 - cos²α, podstawimy do naszego wyrażenia z zadania, więc mamy:
(1 - coc²α)/ cosa = sin²α/cosα = (sinα)•sinα/cosα =
(sinα/cosα)•sinα = tgα • sinα,
przecież wiemy, że sinα/cosα = tgα.
Odpowiedź: Wyrażenie (1 - coc²α)/ cosa jest równe D. tgα • sinα
