Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a_n=\dfrac{(-1)^n\cdot40}{2^n}=40\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wiemy, że w ciągu geometrycznym każdy następny wyraz tego ciągu powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie go przez stałą liczbę różną od 0 nazywaną ilorazem ciągu.
[tex]a_n=a_{n-1}\cdot q\to q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}[/tex]
Czyli:
[tex]q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}[/tex]
Mamy:
[tex]a_1=-20,\ a_2=10,\ a_3=-5[/tex]
Podstawiamy:
[tex]q=\dfrac{10}{-20}=\dfrac{-5}{10}=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
[tex]a_n=a_1q^{n-1}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]a_n=-20\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-20\cdot\left(-1\cdot\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-1\cdot20\cdot(-1)^{n-1}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\\\=(-1)^{n-1+1}\cdot20\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=(-1)^n\cdot20\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot2=(-1)^n\cdot40\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\\\=\dfrac{(-1)^n\cdot40}{2^n}[/tex]
