Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P=\dfrac{1}{20}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Znajdujemy punkty wspólne:
[tex]y=1+x^3,\ y=1+x^4\\\\1+x^4=1+x^3\qquad|-1\\\\x^4=x^3\qquad|-x^3\\\\x^4-x^3=0\\\\x^3(x-1)=0\iff x^3=0\ \vee\ x-1=0\\\\x=0\ \vee\ x=1[/tex]
Kreślimy rysunek poglądowy (patrz załącznik).
Aby obliczyć obszar ograniczony danymi krzywymi należy od obszaru znajdującego się w przedziale [tex]\left<0,\ 1\right>[/tex] poniżej wykresu [tex]y=1+x^3[/tex] odjąć obszar znajdujący się poniżej wykresu [tex]y=1+x^4[/tex].
Obliczamy proste całki oznaczone:
[tex]\int\limits_0^1(x^3+1)dx-\int\limits_0^1(x^4+1)dx=\left\dfrac{1}{4}x^4+x\right]^1_0-\left(\dfrac{1}{5}x^5+x\right]^1_0\bigg)\\\\=\dfrac{1}{4}\cdot1^4+1-\left(\dfrac{1}{4}\cdot0^4+0\right)-\bigg[\dfrac{1}{5}\cdot1^5+1-\left(\dfrac{1}{5}\cdot0^5+0\right)\bigg]\\\\=\dfrac{1}{4}+1-\dfrac{1}{5}-1=\dfrac{5}{20}-\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{20}[/tex]
