Rozwiązanie:
[tex]a)[/tex]
[tex]z^{2}=i[/tex]
Łatwo zauważyć, że:
[tex]z^{2}=i \iff z = \pm\sqrt{i}[/tex]
Najpierw zapiszmy jednostkę urojoną w postaci trygonometrycznej:
[tex]$i=\cos\Big(\frac{\pi}{2} \Big)+i\sin \Big(\frac{\pi}{2} \Big)[/tex]
Teraz skorzystamy ze wzoru de Moivre'a na pierwiastki liczby zespolonej:
[tex]$z_{k}=|z|^{n} \Big(\cos\Big(\frac{\varphi+2k\pi }{n} \Big)+i\sin\Big(\frac{\varphi+2k\pi }{n}\Big)\Big)[/tex]
W naszym przypadku [tex]n=2[/tex] i [tex]k \in \{0,1\}[/tex]. Zatem mamy:
[tex]$z_{0}= \cos\Big(\frac{\frac{\pi}{2} }{2} \Big)+i \sin\Big(\frac{\frac{\pi}{2} }{2}\Big)=\cos \Big(\frac{\pi}{4}\Big)+ i \sin\Big(\frac{\pi}{4}\Big)=\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2}i=\frac{\sqrt{2}}{2} (i+1)[/tex]
[tex]$z_{1}= \cos\Big(\frac{\frac{\pi}{2} +2\pi }{2} \Big)+i \sin\Big(\frac{\frac{\pi}{2} +2\pi }{2}\Big)=\cos \Big(\frac{5\pi}{4}\Big)+ i \sin\Big(\frac{5\pi}{4}\Big)=-\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i=[/tex]
[tex]$=-\frac{\sqrt{2}}{2} (i+1)[/tex]
[tex]b)[/tex]
Nie ma równania.
Odpowiedź: po co wyciągać taką artylerię do a ? :)
Szczegółowe wyjaśnienie:
z=x+iy
z^2=x^2-y^2+2xyi
z^2=i =0+1*i
muszą się zgadzać części rzeczywiste i urojone
układ równań:
x^2-y^2=0
2xy=1
z pierwszego x=y lub x=-y , wstawiamy do drugiego
gdy x=y mamy 2x^2=1 , x^2=1/2 x=V2/2 lub x=-V2/2 i odpowiednio tyle samo y
gdy x=-y , mamy -2x^2=1 co jest niemożliwe gdyż x jest liczbą rzeczywistą
czyli ostatecznie dwa rozwiązania
