Warto kojarzyć wielokrotności pewnych liczb oraz ich odwrotności (na poziomie podstawowym dla 2, 3 i 5 wystarczy). W tego typu zadaniach musimy umieć zamienić liczby - tu: podstawy potęg, na prostsze liczby, najlepiej o tych samych podstawach (czasem się nie, ale dążymy do maksymalnego uproszczenia).
Najpierw uprościmy te ułamki, a potem przejdziemy do operacji na potęgach.
[tex]\frac{1}{2}=2^{-1[/tex], zgodnie wzorem: [tex]a^{-b}=\frac{1}{a^b}[/tex] - czyli minus odwraca ułamek, ale potęga (bez minusa) zostaje w mianowniku, analogicznie niżej:
[tex]0,125=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=[/tex] i dokładnie jak wyżej =[tex]2^{-3}[/tex].
Teraz operacje na potęgach, zgodnie ze wzorem: [tex](a^x)^y=a^{xy}[/tex], więc dla licznika mamy: [tex](2^-{1})^4=2^{-1\cdot4}=2^{-4}[/tex] i dla mianownika: [tex](2^{-3})^3=2^{-3\cdot3}=2^{-9}[/tex]
Teraz zostaje nam podzielić, no i tu też jest wzór: [tex]a^x:a^y=a^{x-y}[/tex] (gdybyśmy mnożyli to wtedy dodajemy wykładniki); stąd otrzymujemy:
[tex]2^{-4}:2^{-9}=2^{-4-(-9)}=2^{-4+9}=2^5=32[/tex]
Odpowiedź:
W takich działaniach zamieniamy zapisujemy nasze liczby w postaci notacji wykładniczej. Dlatego też zapiszmy [tex](\frac{1}{2})^4[/tex] w postaci notacji o podstawie 2.
[tex](2^{-1})^4[/tex] Podstawa notacji to liczba, którą potęgujemy przez wykładnik. Dlaczego akurat -1? Wynika to z wzoru [tex]\frac{1}{a^n} = a^{-n}[/tex], a każdą liczbę całkowitą możemy zapisać w postaci potęgi o wykładniku 1 czyli [tex]2 = 2^1[/tex] i tak też czyniliśmy w tym przypadku. Otrzymaliśmy więc [tex](2^{-1})^4[/tex], należy tutaj jeszcze wymnożyć wykładniki potęg i robimy to [tex]-1 \cdot 4 = -4[/tex] a więc ostatecznym wynikiem jest [tex]2^{-4}[/tex] Nasze działanie wygląda teraz tak
[tex]\frac{2^{-4}}{(0,125)^3}[/tex] Teraz zajmiemy się mianownikiem ułamka. Mamy tam ułamek dziesiętny, a więc zamieniamy go na ułamek zwykły czyli [tex]\frac{1}{8}[/tex] Ponownie zapisujemy to w postaci notacji wykładniczej o podstawie 2. Nie zapisujemy tego w postaci [tex]8^{-1}[/tex], ponieważ musimy to zapisać w notacji o podstawie 2 czyli [tex]8 = 2^3[/tex] Całość więc wygląda następująco
[tex](\frac{1}{2^3})^3[/tex] Ponownie przekształcamy wyrażenie zgodnie ze wzorem [tex]\frac{1}{a^n} = a^{-n}[/tex],
[tex](2^{-3})^3[/tex] Dlaczego taki zapis? Ponieważ odwróciliśmy/przekształciliśmy w tym przypadku wzór, który po przekształceniu wygląda tak [tex]\frac{1}{a^{-n}} = a^{n}[/tex],
Ponownie mnożymy wykładniki potęg [tex](2^{-3})^3 = 2^{-9}[/tex] Całe działanie wygląda teraz następująco
[tex]\frac{2^{-4}}{2^{-9}}[/tex] Upraszczamy teraz wyrażenie czyli odejmujemy od siebie wykładniki [tex]-4 - (-9) = 5[/tex] teraz [tex]\frac{2}{2}[/tex] mnożymy przez 2 aby pozbyć się ułamka i otrzymujemy finalnie wynik w postaci notacji wykładniczej [tex]2^5[/tex] (Czyli 32)
Szczegółowe wyjaśnienie:
