Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]b)\ \log_{\sqrt3}\dfrac{1}{9}=\log_{\sqrt3}9^{-1}=\log_{\sqrt3}3^{-2}=-2\log_{\sqrt3}3=-2\log_{\sqrt3}\left(\sqrt3\right)^2\\\\=2\cdot(-2)\log_{\sqrt3}\sqrt3=-4\cdot1=-4[/tex]
[tex]c)\ \log_{\frac{1}{4}}8\sqrt[4]2=\log_\frac{1}{4}\left(2^3\cdot2^\frac{1}{4}}\right)=\log_{\frac{1}{4}}2^{3+\frac{1}{4}}=\log_{\frac{1}{4}}2^{3\frac{1}{4}}=3\dfrac{1}{4}\log_{\frac{1}{4}}2\\\\=\dfrac{13}{4}\log_{\frac{1}{4}}\sqrt4=\dfrac{13}{4}\log_{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{13}{4}\log_{\frac{1}{4}}4=\dfrac{13}{8}\log_{\frac{1}{4}}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}=-\dfrac{13}{8}[/tex]
Skorzystałem ze wzorów:
[tex]a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n,\ a\neq0\\\\\log_ab^n=n\log_ab,\ a\in\mathbb{R^+}-\{1\}\ \wedge\ b\in\mathbb{R^+}\ \wedge\ n\in\mathbb{R}\\\\\log_aa=1,\ a\in\mathbb{R^+}-\{1\}\\\\\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}[/tex]
Inny sposób.
Skorzystamy ze wzoru:
[tex]\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca};\ a,c\in\mathbb{R^+}-\{1\}\ \wedge\ b\in\mathbb{R^+}[/tex]
[tex]b)\ \log_{\sqrt3}\dfrac{1}{9}=\dfrac{\log_3\frac{1}{9}}{\log_3\sqrt3}=\dfrac{\log_33^{-2}}{\log_33^\frac{1}{2}}=\dfrac{-2\log_33}{\frac{1}{2}\log_33}=-2\cdot\dfrac{2}{1}=-4[/tex]
[tex]c)\ \log_{\frac{1}{4}}8\sqrt[4]2=\log_\frac{1}{4}\left(2^3\cdot2^{\frac{1}{4}}\right)=\log_{\frac{1}{4}}2^{3+\frac{1}{4}}=\log_\frac{1}{4}2^{3\frac{1}{4}}=3\dfrac{1}{4}\log_\frac{1}{4}2\\\\=\dfrac{13}{4}\cdot\dfrac{\log_22}{\log_2\frac{1}{4}}=\dfrac{13}{4}\cdot\dfrac{1}{\log_22^{-2}}=\dfrac{13}{4}\cdot\dfrac{1}{-2\log_22}=\dfrac{13}{4}\cdot\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{13}{8}[/tex]
