Cześć!
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{2+5+8+...+(3n-1)}{(2n-3)^2})[/tex]
Licznik jest sumą początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego [tex](a_n)[/tex], w którym:
[tex]a_1=2\\\\a_n = 3n-1[/tex]
Aby znaleźć tę sumę, wpierw szukamy liczby wyrazów tego ciągu. Wiedząc, że [tex]r=a_2-a_1=5-2=3[/tex], wstawiamy do wzoru (aby nie pomylić oznaczeń, przyjmijmy, że liczba wyrazów tego ciągu to [tex]x[/tex]):
[tex]a_n=a_1+(x-1)r\\\\3n-1=2+(x-1)\cdot 3\\\\3n-1=2+3x-3\\\\3x-1=3n-1\\\\3x=3n\\\\x=n[/tex]
Zatem ciąg ten składa się z [tex]n[/tex] wyrazów, których suma wynosi:
[tex]S_n = \frac{2+(3n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n+3n^2-n}{2} = \frac{3n^2-n}{2}[/tex]
Wstawiając do granicy:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{2+5+8+...+(3n-1)}{(2n-3)^2}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{\frac{3n^2-n}{2}}{(2n-3)^2}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{\frac{3n^2-n}{2}}{4n^2-12n+9}) =\\\\\lim_{n \to \infty} (\frac{3n^2-n}{8n^2-24n+18})=[/tex]
Wyłączamy najwyższą potęgę mianownika zarówno w liczniku, jak i w mianowniku ułamka, otrzymując:
[tex]= \lim_{n \to \infty} (\frac{n^2(3-\frac{1}{n})}{n^2(8-\frac{24}{n}+\frac{18}{n^2})})= \lim_{n \to \infty} (\frac{3-\frac{1}{n}}{8-\frac{24}{n}+\frac{18}{n^2}})=[/tex]
Wyrażenia [tex]\frac{1}{n}, \frac{24}{n}, \frac{18}{n^2}[/tex] dla [tex]n \to \infty[/tex] zbiegają do zera, a granica stałej jest równa tej stałej, zatem:
[tex]= \frac{3-0}{8-0+0} = \frac{3}{8}=0,375[/tex]
Odpowiedź: [tex]\boxed{3}\boxed{7}\boxed{5}[/tex]
Pozdrawiam!
