Odpowiedź:
Skorzystamy z relacji między kątem środkowym a kątem wpisanym w okrąg opartymi na tym samym łuku. Zachodzi między nimi następująca zależność: miara kąta środkowego jest 2 razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy.
b) Kąt (α+36°) jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy o mierze 120°. Z własności tych kątów wiemy, że
[tex]\alpha+36^\circ=\frac{1}{2}\cdot120^\circ\\\alpha+36^\circ=60^\circ\\\alpha=24^\circ[/tex]
c) Korzystam z oznaczeń z mojego rysunku.
Kąt β jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, co kąt 49° wpisany w okrąg. Zatem [tex]\beta=2\cdot49^\circ=98^\circ[/tex].
Zauważmy, że trójkąt AOB jest równoramienny, bo odcinki OA i OB to promienie okręgu. Z własności trójkąta równoramiennego wiemy, że kąty przy jego podstawie mają równą miarę, tzn. [tex]|\measuredangle OAB|=|\measuredangle OBA|=\alpha[/tex]. Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°. Zatem w trójkącie AOB
[tex]180^\circ=98^\circ+2\alpha\\2\alpha=82^\circ\\\alpha=41^\circ[/tex]
d) Oznaczmy β - kąt stanowiący dopełnienie kąta α do kąta pełnego. [tex]\beta=360^\circ-\alpha.[/tex]
Kąt β jest kątem środkowym oparty na dużym łuku (większej części okręgu). Na tym samym łuku jest oparty kąt wpisany o mierze 125°. Zatem
[tex]\beta=2\cdot125^\circ=250^\circ[/tex]
[tex]\beta=360^\circ-\alpha\iff\alpha=360^\circ-\beta\\\alpha=360^\circ-250^\circ=110^\circ[/tex]
e) (nie był wymieniony w pytaniu, ale na zdjęciu nie jest skreślony, więc na wszelki wypadek też dołączam; korzystam z oznaczeń z mojego drugiego rysunku)
Na rysunku mamy wrysowaną średnicę okręgu (AC). Kąt β stanowi dopełnienie kąta 100° do kąta półpełnego. Zatem [tex]\beta=180^\circ-100^\circ=80^\circ[/tex]
Zauważmy, że kąt α jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy β. Stąd
[tex]\alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\cdot80^\circ=40^\circ[/tex]
