Rozwiązanie:
Nierówność:
[tex]x^{2}-y^{2}\geq 6[/tex]
Przekształcimy tę nierówność do postaci hiperboli, czyli krzywej stożkowej, która jest zbiorem punktów takich, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od tzw. ognisk hiperboli jest stała. Hiperbola jako krzywa zadana jest następującym równaniem:
[tex]$\frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1[/tex]
gdzie [tex]a[/tex] jest odległością pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast [tex]b[/tex] reprezentuje odległość pomiędzy tzw. wierzchołkami urojonymi (odległość między wierzchołkami w drugiej osi). Zatem dzieląc obustronnie nierówność przez [tex]6[/tex] mamy:
[tex]$\frac{x^{2}}{6} -\frac{y^{2}}{6} \geq 1[/tex]
W naszym przypadku [tex]a=b=\sqrt{6}[/tex]. Teraz należy najpierw narysować hiperbolę zadaną równaniem:
[tex]$\frac{x^{2}}{6} -\frac{y^{2}}{6} =1[/tex]
a następnie zaznaczyć szukany zbiór. W tym celu najpierw wyznaczamy ogniska hiperboli, które można obliczyć tak:
[tex]F_{1}=(-c,0)\\F_{2}=(c,0)[/tex]
Przy czym:
[tex]c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex]
Zatem:
[tex]F_{1}=(-2\sqrt{3} ,0)\\F_{2}=(2\sqrt{3} ,0)[/tex]
Dodatkowo można wyznaczyć asymptoty hiperboli zadanie równaniami:
[tex]$y=\frac{b}{a}x[/tex]
[tex]$y=-\frac{b}{a} x[/tex]
Zatem w naszym przypadku są to proste:
[tex]y=-x\\y=x[/tex]
Ramiona hiperboli będą się "zbliżać" do tych prostych. To ułatwi rysunek. Wyznaczamy wierzchołki hiperboli:
[tex]P_{1}=(-\sqrt{6} ,0)\\P_{2}=(\sqrt{6},0)[/tex]
Aby dokładniej wykreślić hiperbolę możemy jeszcze obliczyć sobie kilka punktów, które na niej leżą, lecz przyjmując jednostkową skalę ciężko będzie nam je zaznaczyć (ich obie współrzędne nie są liczbami całkowitymi).
Po narysowaniu hiperboli należy zaznaczyć odpowiedni obszar, który nas interesuje. Jak to zrobić? Patrząc na nierówność widzimy, że lewa strona jest większa niż stała po prawej, więc zaznaczymy obszar "na zewnątrz", a nie w środku (pomiędzy połówkami hiperboli). Można się o tym przekonać podstawiając współrzędne punktów, które należą do opisywanego zbioru.
Wykres w załączniku.
