Mamy dane:
[tex]P_p=16\ [\text{cm}^2]\\\\V=64\sqrt{3}\ [\text{cm}^3][/tex]
Możemy obliczyć wysokość graniastosłupa:
[tex]V=P_p\cdot H\\\\64\sqrt{3}=16\cdot H\\\\H=4\sqrt{3}\ [\text{cm}][/tex]
Graniastosłup jest prawidłowy, więc jego podstawą jest kwadrat. Liczymy długość krawędzi podstawy:
[tex]P_p=a^2\\\\a^2=16\\\\a=4\ [\text{cm}][/tex]
Długość przekątnej ściany bocznej obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2+H^2=d^2\\\\4^2+(4\sqrt{3})^2=d^2\\\\16+48=d^2\\\\d^2=64\\\\\boxed{d=8\ [\text{cm}]}[/tex]
Miarę kąta alfa możemy wyznaczyć, korzystając z pewnej funkcji trygonometrycznej:
[tex]\sin\alpha=\dfrac{a}{d}\\\\\sin\alpha=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}[/tex]
Stąd:
[tex]\boxed{\alpha=30^{\circ}}[/tex]
