szkoła średnia
Dział Wielomiany - Dzielenie wielomianów z resztą
Przypomnijmy, że wielomianem stopnia [tex]n[/tex] nazywamy wyrażenie postaci [tex]W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_2x^2+a_1x+a_0,[/tex] w którym [tex]a_n \not =0[/tex] oraz [tex]n \in \mathbb{N}.[/tex]
Stopniem wielomianu nazywamy najwyższy wykładnik występujący w tym wielomianie, ale należy również pamiętać, że wielomian zerowy, tj. [tex]W(x)=0[/tex] nie ma określonego stopnia.
Z treści zadania wiemy, że:
[tex]W(x)= x^4 + (a+b)x^3 + 2x^2 + bx + 6\\P(x)=x^2+4x+3\\R(x)=x+9[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]P(x)=x^2+4x+3\\\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\\x_1=\dfrac{-4-2}{2}=-3\\x_2=\dfrac{-4+2}{2}=-1\\P(x)=(x+3)(x+1)[/tex]
Przypomnijmy, że dzielenie wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez wielomian [tex]P(x)[/tex] z resztą [tex]R(x)[/tex] możemy zapisać w postaci:
[tex]W(x)=P(x) \cdot Q(x)+R(x),[/tex] gdzie wielomian [tex]Q(x)[/tex] jest ilorazem, zaś stopień reszty jest mniejszy od stopnia wielomianu [tex]P(x)[/tex] lub [tex]R(x)=0.[/tex]
Wobec tego:
[tex]W(x)=P(x) \cdot Q(x)+R(x)\\x^4 + (a+b)x^3 + 2x^2 + bx + 6=Q(x) \cdot (x+1)(x+3)+x+9[/tex]
Co więcej:
[tex]W(-3)=(-3)^4+(a+b) \cdot (-3)^3+2 \cdot (-3)^2-3b+6=81-27a-27b+18-3b+6=-27a-30b+105\\W(-1)=(-1)^4+(a+b) \cdot (-1)^3+2 \cdot (-1)^2-b+6=1-a-b+2-b+6=-a-2b+9[/tex]
Skoro [tex]W(x)=Q(x) \cdot (x+1)(x+3)+x+9,[/tex] to powyższe wartości możemy również obliczyć również w inny sposób:
[tex]W(-3)=Q(-3) \cdot (-3+1)(-3+3)+-3+9=6\\W(-1)=Q(-1) \cdot (-1+1)(-1+3)-1+9=8[/tex]
Zapisując razem te fakty otrzymujemy dwa równania:
[tex]-27a-30b+105=6\\-a-2b+9=8[/tex]
Upraszczając te równania dostajemy:
[tex]27a+30b=99\\a+2b=1[/tex]
Pozostaje nam zapisać powyższe równania w postaci układu równań i rozwiązać go, np. metodą przeciwnych współczynników:
[tex]\left\{\begin{array}{c} 27a+30b=99 \vline :3\\a+2b=1 \vline \cdot (-5) \end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{c} 9a+10b=33\\-5a-10b=-5 \end{array}[/tex]
Sumujemy równania stronami i dostajemy:
[tex]9a+10b-5a-10b=33-5\\4a=28\vline :4\\\boxed{a=7}\\a+2b=7+2b=1\\7+2b=1\\2b=1-7\\2b=-6 \vline :2\\\boxed{b=-3}[/tex]
[tex]\boxed{\left\{\begin{array}{c} a=7\\ b=-3 \end{array}}[/tex]
Odpowiedź: Dla [tex]a=7,\, b=-3.[/tex]
