Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]f(x,y)=x^{2}+2x+y^{2}-2y+3[/tex]
Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x} =2x+2[/tex]
[tex]$\frac{\partial f}{\partial y} =2y-2[/tex]
Przyrównujemy te pochodne do zera, tworząc układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2x+2=0\\2y-2=0\end{array}\right[/tex]
Rozwiązujemy powyższy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=-1\\y=1\end{array}\right[/tex]
Zatem mamy tylko jeden punkt stacjonarny:
[tex]P_{1}=(-1,1)[/tex]
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
[tex]$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial f}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x} )=2[/tex]
[tex]$\frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial f}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y} )=2[/tex]
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x \partial y} =\frac{\partial f}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y} )=0[/tex]
[tex]$\frac{\partial f}{\partial y \partial x} =\frac{\partial f}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x} )=0[/tex]
Tworzymy hesjan:
[tex]$H(x,y)=\left|\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\end{array}\right|[/tex]
Obliczamy wyznacznik macierzy dla punktu stacjonarnego [tex]P_{1}[/tex] :
[tex]H(P_{1})=4[/tex]
Zauważmy, że [tex]H(P_{1})>0[/tex] oraz [tex]$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0[/tex], czyli funkcja osiąga minimum w punkcie stacjonarnym [tex]P_{1}[/tex]. Obliczamy jego wartość:
[tex]f(-1,1)=1[/tex]
