Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystamy z własności pierwiastkowania oraz wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.
Własności, które będziemy stosować:
[tex]\sqrt[n]{a^n}=a\\\\\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}[/tex]
Zatem:
[tex](\dfrac{\sqrt[7]{21}+\sqrt[7]{35}}{\sqrt[7]{12}+\sqrt[7]{20}})^7\cdot(\dfrac{\sqrt[9]{14}+\sqrt[9]{56}}{\sqrt[9]{8}+\sqrt[9]{32}})^{-9}=\\\\\\=(\dfrac{\sqrt[7]{7\cdot3}+\sqrt[7]{7\cdot5}}{\sqrt[7]{4\cdot3}+\sqrt[7]{4\cdot5}})^7\cdot(\dfrac{\sqrt[9]{7\cdot2}+\sqrt[9]{7\cdot8}}{\sqrt[9]{8}+\sqrt[9]{8\cdot 4}})^{-9}=\\\\\\[/tex]
[tex]=(\dfrac{\sqrt[7]7\cdot\sqrt[7]3+\sqrt[7]7\cdot\sqrt[7]5}{\sqrt[7]4\cdot\sqrt[7]3+\sqrt[7]4\cdot\sqrt[7]5})^7\cdot(\dfrac{\sqrt[9]7\cdot\sqrt[9]2+\sqrt[9]7\cdot\sqrt[9]8}{\sqrt[9]8+\sqrt[9]8\cdot\sqrt[9]4})^{-9}=\\\\\\=(\dfrac{\sqrt[7]7(\sqrt73+\sqrt[7]5)}{\sqrt[7]4(\sqrt[7]3+\sqrt[7]5)})^7\cdot(\dfrac{\sqrt[9]7(\sqrt[9]2+\sqrt[9]8)}{\sqrt[9]8(1+\sqrt[9]4)})^{-9}=[/tex]
[tex]=(\dfrac{\sqrt[7]7}{\sqrt[7]4})^7\cdot(\dfrac{\sqrt[9]7(\sqrt[9]2+\sqrt[9]{2\cdot 4})}{(\sqrt[9]4\cdot\sqrt[9]2)(1+\sqrt[9]4)})^{-9}=\\\\\\=\dfrac{7}{4}\cdot(\dfrac{\sqrt[9]7\cdot\sqrt[9]2(1+\sqrt[9]{4})}{(\sqrt[9]4\cdot\sqrt[9]2)(1+\sqrt[9]4)})^{-9}=\\\\\\=\dfrac{7}{4}\cdot(\dfrac{\sqrt[9]7}{\sqrt[9]4})^{-9}=\\\\\\=\dfrac74\cdot(\dfrac{\sqrt[9]4}{\sqrt[9]7})^9=\\\\\\=\dfrac74\cdot\dfrac47=1[/tex]
