Rozwiązanie:
[tex]2^{cosx} \cdot (\sqrt{2} )^{cosx} \cdot (\sqrt[4]{2} )^{cosx} \cdot (\sqrt[8]{2} )^{cosx} \cdot ... =2[/tex]
[tex]2^{cosx} \cdot 2^{\frac{1}{2}cosx } \cdot 2^{\frac{1}{4} cosx} \cdot 2^{\frac{1}{8}cosx} \cdot ... =2[/tex]
[tex]2^{cosx+\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{4}cosx+\frac{1}{8}cosx +... }=2[/tex]
[tex]2^{cosx(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... )}=2[/tex]
W wykładniku mamy ciąg geometryczny, w którym:
[tex]a_{1}=1\\q=\frac{1}{2}[/tex]
Ponieważ mamy [tex]|q|<1[/tex], to możemy obliczyć nieskończoną sumę takiego ciągu:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{1}{1-\frac{1}{2} } =2[/tex]
Zatem nasze równanie ma postać:
[tex]2^{2cosx}=2[/tex]
Korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej mamy:
[tex]2cosx=1[/tex]
[tex]$cosx=\frac{1}{2} $[/tex]
[tex]$x =\frac{\pi}{3}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{3} +2k\pi $[/tex]
[tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]
Teraz pozostało wybrać rozwiązania należące do rozważanego przedziału:
[tex]$x \in \{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3} \}$[/tex]
