Odpowiedź:
[tex]P\Delta_{rownobocznego} =27(13\sqrt{3} +12 )~[j^{2} ][/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
a- długość boku trójkąta równobocznego
Obw = 3a
h - wysokość w trójkącie równobocznym wynosi: [tex]h=\dfrac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]
Z zadania wiemy, że obwód trójkąta równobocznego jest o 99 większy od jej wysokości, czyli:
[tex]3a=h+99~~\land~~h=\dfrac{a\sqrt{3} }{2} \\\\3a=\dfrac{a\sqrt{3} }{2} +99~~\mid \cdot 2\\\\6a=a\sqrt{3} +198\\\\6a-a\sqrt{3} =198\\\\a(6-\sqrt{3} )=198~~\mid \div (6-\sqrt{3} )\\\\a=\dfrac{198}{(6-\sqrt{3} ) }\\\\a=\dfrac{198}{(6-\sqrt{3} ) }\cdot \dfrac{(6+\sqrt{3} )}{(6+\sqrt{3} ) }\\\\a=\dfrac{198(6+\sqrt{3} )}{6^2-(\sqrt{3})^2}\\\\a=\dfrac{198(6+\sqrt{3} )}{36-3}\\\\a=\dfrac{198(6+\sqrt{3} )}{33}\\\\a=6(6+\sqrt{3} )\\\\a=36+6\sqrt{3}[/tex]
Obliczyć mamy pole trójkąta równobocznego, które wynosi:
[tex]P\Delta_{rownobocznego} =\dfrac{a^{2} \sqrt{3} }{4} \\\\a^2=[6(6+\sqrt{3} )]^2=36(36+12\sqrt{3} +3)=36(39+12\sqrt{3} )=108(13+4\sqrt{3} )\\\\P\Delta_{rownobocznego} =\dfrac{a^{2} \sqrt{3} }{4}~~\land~~a^2=108(13+4\sqrt{3} )\\\\P\Delta_{rownobocznego} =\dfrac{ 108(13+4\sqrt{3} )\cdot \sqrt{3} }{4}\\\\P\Delta_{rownobocznego} =\dfrac{ 108(13\sqrt{3} +12 )}{4}\\\\P\Delta_{rownobocznego} =27(13\sqrt{3} +12 )[/tex]
