Odpowiedź :
Rozwiązanie:
Przyjmijmy konwencję ciągu geometrycznego, a zatem:
[tex]a=a_{1}\\b=a_{1}q\\c=a_{1}q^{2}[/tex]
Wówczas mamy następujące równości:
[tex]a_{1}q=\frac{a_{1}+a_{1}q^{2}-3}{2} \\[/tex]
[tex]a_{1} \cdot a_{1}q^{2}=324[/tex]
Mamy więc do rozwiązania układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}q=\frac{a_{1}+a_{1}q^{2}-3}{2} \\a_{1} \cdot a_{1}q^{2}=324\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2a_{1}q=a_{1}+a_{1}q^{2}-3 \\(a_{1}q)^{2}=324\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2a_{1}q=a_{1}+a_{1}q^{2}-3 \\a_{1}q=18\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2a_{1}q=a_{1}+a_{1}q^{2}-3 \\a_{1}=\frac{18}{q} \\\end{array}\right[/tex]
Po wstawieniu drugiego równania do pierwszego mamy:
[tex]36=\frac{18}{q} +18q-3\\36q=18+18q^{2}-3q\\18q^{2}-39q+18=0\\6q^{2}-13q+6=0\\\Delta=169-4 \cdot 6 \cdot 6=25\\q_{1}=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2} \\q_{2}=\frac{13-5}{12} =\frac{2}{3}[/tex]
Drugie rozwiązanie odrzucamy, gdyż ciąg geometryczny ma być rosnący. Obliczamy [tex]a_{1}[/tex] :
[tex]a_{1}=\frac{18}{q}=18 \cdot \frac{2}{3}=\frac{36}{3}=12[/tex]
Obliczamy [tex]a,b[/tex] i [tex]c[/tex] :
[tex]a=12\\b=18\\c=27[/tex]
(a,b,c) - rosnący ciąg geometryczny
(a,b,c-3) - ciąg arytmetyczny
ac=324 ( * )
Z własności ciągu geometrycznego wynika,że : b²=ac. Korzystając z ( * ) otrzymujemy równość : b²=324 . Stąd b=18 ( bo ciąg geometryczny jest rosnący )
Z własności ciągu arytmetycznego, mamy : 2b=a+c-3 czyli 2·18=a+c-3 ⇔
36=a+c-3 ⇔ a+c=39
Korzystamy z równości ( * ) : ac=324 ⇔ a·(39-a)=324 ⇔ 39a-a²=324 ⇔ -a²+39a-324=0 |·(-1) ⇔a²-39a+324=0
Δ=(-39)²-4·1·324=1521-1296=225 , √Δ=15
a1=(39-15)/2
a1=12
a2=(39+15)/2
a2=27
c1=39-12=27
c2=39-27=12
(12,18,27) - ciąg geometryczny rosnący
(27,18,12) - ciąg geometryczny malejący - odpada,bo nie spełnia warunków zadania
Odp. a=12 , b=18 , c=27