a)
Jeżeli się da to zapisujemy liczby w postaci potęg o takiej samej podstawie lub takim samym wykładniku..
Dwie ostatnie liczby to ułamki.
Najmniejszy jest
[tex](0,1)^{20} [/tex]
potem
[tex](0,1)^{10}[/tex]
i
[tex]0^{100}[/tex]
---------------
Pozostałe liczby będą większe od 1.
[tex]32^9=(2^5)^9=2^{45}[/tex]
[tex]16^{12}=(2^4)^{12}=2^{48}[/tex]
[tex]2^{45}<2^{48}[/tex]
czyli
[tex]32^9<16^{12}[/tex]
---------------
Ponieważ w potęgach zapisanych wyżej podstawą była 2, kolejne liczby wypadałoby oszacować przez potęgi o podstawie 2.
[tex]32^7<63^7<64^7[/tex]
[tex](2^5)^7<63^7<(2^6)^7[/tex]
[tex]2^{35}<63^7<2^{42}[/tex]
Stąd już mamy, że
[tex]63^7<32^9<16^{12}[/tex]
-------------
[tex]16^{13}<18^{13}<32^{13}[/tex]
[tex](2^4)^{13}<18^{13}<(2^5)^{13}[/tex]
[tex]2^{52}<18^{13}<2^{65}[/tex]
czyli
[tex]63^7<32^9<16^{12}<18^{13}[/tex]
Ostatecznie:
[tex](0,1)^{20}<(0,1)^{10}<0^{100}<63^7<32^9<16^{12}<18^{13}[/tex]
==============
b)
Niestety w tym przypadku szacowanie z a) się nie sprawdza.
[tex]4^{27}=(2^2)^{27}=2^{54}[/tex]
stąd
[tex]4^{27}<2^{55}[/tex]
-------------
[tex]3^{40}=(3^2)^{20}=9^{20}[/tex]
[tex]2^{55}=2^{1+54}=2\cdot2^{54}=2\cdot2^{3\cdot18}=2\cdot(2^3)^{18}=2\cdot8^{18}[/tex]
[tex]2\cdot8^{18}<9\cdot9^{18}[/tex]
stąd
[tex]2^{55}<9^{19}[/tex]
czyli
[tex]2^{55}<3^{40}[/tex]
Otrzymujemy więc
[tex]4^{27}<2^{55}<3^{40}[/tex]
Została jeszcze liczba [tex]5^{21}[/tex].
[tex]5^{21}=5^{3\cdot7}=(5^3)^7=125^7[/tex]
[tex]125^7<128^7[/tex]
[tex]125^7<(2^7)^7[/tex]
[tex]125^7<2^{49}[/tex]
czyli
[tex]5^{21}<4^{27}[/tex]
Ostatecznie
[tex]5^{21}<4^{27}<2^{55}<3^{40}[/tex]
