Rozwiązanie:
Przyjmijmy, że kąty [tex]\alpha ,\beta ,\gamma[/tex] leżą na przeciwko boków [tex]a,b,c[/tex] odpowiednio.
Boki trójkąta pozostają w stosunku [tex]4:5:6[/tex], zatem możemy je oznaczyć jako [tex]4x, 5x[/tex] oraz [tex]6x[/tex] (odpowiednio [tex]a,b[/tex] i [tex]c[/tex]), gdzie [tex]x>0[/tex].
Z twierdzenia Carnota:
[tex](5x)^{2}=(4x)^{2}+(6x)^{2}-2 \cdot 4x \cdot 6x \cdot cos\beta \\25x^{2}=16x^{2}+36x^{2}-48x^{2}cos\beta \\-48x^{2}cos\beta =-27x^{2}\\cos\beta =\frac{27}{48}=\frac{9}{16}[/tex]
Dalej z tego twierdzenia:
[tex](4x)^{2}=(5x)^{2}+(6x)^{2}-2 \cdot 5x \cdot 6x \cdot cos\alpha \\16x^{2}=25x^{2}+36x^{2}-60x^{2}cos\alpha \\-60x^{2}cos\alpha =-45x^{2}\\cos\alpha =\frac{45}{60}=\frac{3}{4}[/tex]
Zatem:
[tex]cos^{2}\alpha =(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}=cos\beta[/tex]
co kończy dowód.
