Odpowiedź :
Funkcje trygonometryczne.
[tex]\huge\boxed{a)\ \sin\alpha=\dfrac{3\sqrt{73}}{73},\ \cos\alpha=-\dfrac{8\sqrt{73}}{73}}\\\boxed{b)\ \cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt{14}}{9},\ \text{tg}\alpha=-\dfrac{5\sqrt{14}}{126}}\\\boxed{c)\ \sin\alpha=\dfrac{\sqrt{82}}{82},\ \cos\alpha=-\dfrac{9\sqrt{82}}{82}}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
Funkcje trygonometryczne przyjmują znak wartości w zależności w której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się końcowe ramię kąta.
Wierszyk:
W pierwszej wszystkie są dodatnie.
W drugiej tylko sinus.
W trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.
W każdym przykładzie mamy drugą ćwiartkę. Zatem funkcja sinus przyjmuje wartości dodatnia, a funkcja cosinus i tangens wartości ujemne.
Tożsamości trygonometryczne:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\text{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]
[tex]a)\ \text{tg}\alpha=-\dfrac{3}{8},\ \alpha\in(90^o,\ 180^o),\ \sin\alpha=?,\ \cos\alpha=?[/tex]
Korzystając z tożsamości trygonometrycznych otrzymujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{3}{8}\end{array}\right[/tex]
Z drugiego równania wyznaczymy sinα i podstawimy do równania pierwszego:
[tex]\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{3}{8}\qquad|\cdot\cos\alpha\neq0\\\\\sin\alpha=-\dfrac{3}{8}\cos\alpha\qquad(*)[/tex]
podstawiamy:
[tex]\left(-\dfrac{3}{8}\cos\alpha\right)^2+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{9}{64}\cos^2\alpha+\dfrac{64}{64}\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{73}{64}\cos^2\alpha=1\qquad|\cdot\dfrac{64}{73}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{64}{73}\to\cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{64}{73}}\\\\\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{73}}\\\\\cos\alpha=-\dfrac{8}{\sqrt{73}}\cdot\dfrac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}\\\\\boxed{\cos\alpha=-\dfrac{8\sqrt{73}}{73}}[/tex]
podstawiamy do [tex](*)[/tex]:
[tex]\sin\alpha=-\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{8\sqrt{73}}{73}\right)\\\\\boxed{\sin\alpha=\dfrac{3\sqrt{73}}{73}}[/tex]
[tex]b)\ \sin\alpha=\dfrac{5}{9},\ \alpha\in(90^o,\ 180^o),\ \text{tg}\alpha=?,\ \cos\alpha=?[/tex]
Korzystając z pierwszej tożsamości otrzymujemy:
[tex]\left(\dfrac{5}{9}\right)^2+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{25}{81}+\cos^2\alpha=\dfrac{81}{81}\qquad|-\dfrac{25}{81}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{56}{81}\to\cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{56}{81}}\\\\\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{4\cdot14}}{\sqrt{81}}\\\\\boxed{\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt{14}}{9}}[/tex]
Teraz korzystamy z drugiej tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\text{tg}\alpha=\dfrac{\frac{5}{9}}{-\frac{2\sqrt{14}}{9}}\\\\\text{tg}\alpha=\dfrac{5}{9\!\!\!\!\diagup}\cdot\left(-\dfrac{9\!\!\!\!\diagup}{2\sqrt{14}}\right)\\\\\text{tg}\alpha=-\dfrac{5}{9\sqrt{14}}\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}\\\\\text{tg}\alpha=-\dfrac{5\sqrt{14}}{9\cdot14}\\\\\boxed{\text{tg}\alpha=-\dfrac{5\sqrt{14}}{126}}[/tex]
[tex]c)\ \text{tg}\alpha=-\dfrac{1}{9},\ \alpha\in(90^o,\ 180^o),\ \sin\alpha=?,\ \cos\alpha=?[/tex]
Korzystając z tożsamości trygonometrycznych otrzymujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{1}{9}\end{array}\right[/tex]
Z drugiego równania wyznaczymy sinα i podstawimy do równania pierwszego:
[tex]\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{1}{9}\qquad|\cdot\cos\alpha\neq0\\\\\sin\alpha=-\dfrac{1}{9}\cos\alpha\qquad(*)[/tex]
podstawiamy:
[tex]\left(-\dfrac{1}{9}\cos\alpha\right)^2+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{1}{81}\cos^2\alpha+\dfrac{81}{81}\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{82}{81}\cos^2\alpha=1\qquad|\cdot\dfrac{81}{82}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{81}{82}\to\cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{81}{82}}\\\\\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{82}}\\\\\cos\alpha=-\dfrac{9}{\sqrt{82}}\cdot\dfrac{\sqrt{82}}{\sqrt{82}}\\\\\boxed{\cos\alpha=-\dfrac{9\sqrt{82}}{82}}[/tex]
Podstawiamy do [tex](*)[/tex]
[tex]\sin\alpha=-\dfrac{1}{9\!\!\!\!\diagup}\cdot\left(-\dfrac{9\!\!\!\!\diagup\sqrt{82}}{82}\right)\\\\\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{82}}{82}}[/tex]