To będzie partyzancka metoda rozwiązania. Zamiast jawnie pisać kąt oznaczę, go przez x i będę wyrażał w radianach.
Jeśli cosinusa zapiszą za pomocą wzorów Eulera:
[tex]\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex]
oraz zauważę, że:
[tex]\cos(x)\cos(2x)=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})(e^{2ix}+e^{-2ix})}{4}=\frac{e^{3ix}+e^{-3ix}+e^{ix}+e^{-ix}}{4}[/tex]
teraz zrobię pewien trick i pomnożę to i podzielę przez sin(x)
[tex]\frac{(e^{3ix}+e^{-3ix}+e^{ix}+e^{-ix})(e^{ix}-e^{-ix})}{4(e^{ix}-e^{-ix})}=\frac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{4(e^{ix}-e^{-ix})}=\frac{1}{4}\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}[/tex]
Jeżeli teraz będę to dalej mnożył przez kolejne czynniki:
[tex]\frac{1}{4}\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}\cdot\cos(4x)=\frac{1}{8}\frac{\sin(8x)}{\sin(x)}[/tex]
czyli na końcu dostaną:
[tex]\frac{1}{2^{24}}\frac{\sin(2^{24}x)}{\sin(x)}[/tex]
została ostatnia sztuczka. Wiemy, że sinus jest periodyczny z okresem 2π, zatem wystarczy zobaczyć ile wynosi:
[tex]\mod(2^{24}x,2\pi)=\mod(2^{24}\cdot\frac{14}{45}\pi,2\pi)=\frac{14}{45}\pi=x\\\frac{1}{2^{24}}\frac{\sin(2^{24}x)}{\sin(x)}=\frac{1}{2^{24}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{2^{24}}[/tex]
Jeżeli się nie lubi wzorów Eulera, to można wszystko robić na wzorach trygonometrycznych. Przydatny tu będą związki:
[tex]\cos(x)\cos(2x)=\frac{1}{2}(\cos(x)+\cos(3x))[/tex]
i po pomnożeniu przez sprzężenie z sinusem
[tex]\frac{1}{2}(\cos(x)+\cos(3x))\frac{\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{4}\frac{\sin(2x)+2\cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{4}\frac{\sin(2x)+\sin(4x)-\sin(2x)}{\sin(x)}=\\=\frac{1}{4}\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}[/tex]
trzeba tu jednak znać/pamiętać dużo wzorów redukcyjnych
pozdrawiam
