podaj przedziały montoniczności i zbiór wartości funkcji f oraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem
a)f(x)=2(x-3)^2-4
b)f(x)=1/4 (x+2)^2+2

Wykresem funkcji kwadratowej [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] jest parabola. Parabola może mieć ramiona skierowane do góry (w przypadku [tex]a>0[/tex]) lub w dół ([tex]a<0[/tex]), a decyduje o tym współczynnik kierunkowy [tex]a[/tex]. Rozgraniczmy dwa przypadki:

Jeżeli ramiona paraboli skierowane są w górę, to przedziały monotoniczności zawsze mają postać: [tex]f(x) \searrow \iff x \in (-\infty; p\rangle ~~~~ \wedge ~~~~f(x) \nearrow \iff x \in \langle p; +\infty)[/tex]
Jeżeli ramiona paraboli skierowane są w dół, to przedziały monotoniczności zawsze mają postać: [tex]f(x) \nearrow \iff x \in (-\infty; p\rangle ~~~~ \wedge ~~~~f(x) \searrow \iff x \in \langle p; +\infty)[/tex]

W powyższym zapisie, literka [tex]p[/tex] jest pierwszą współrzędna wierzchołka paraboli [tex]W(p,q)[/tex]. Aby wyznaczyć jej wartość, należy podstawić nasze dane do równania: [tex]p=-\frac{b}{2a}[/tex].

Pamiętaj, że zawsze chcemy wyznaczać maksymalne przedziały monotoniczności, dlatego będziemy domykać przedziały wszędzie, gdzie będzie to możliwe i poprawne matematycznie (podpowiem, na pewno nigdy nie będziemy domykać nieskończoności).

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji kwadratowej?

Tutaj ponownie mamy podział na dwa przypadki, ze względu na kierunek ramion paraboli:

Jeżeli ramiona paraboli skierowane są do góry, to zbiór wartości funkcji jest przedziałem: [tex]V = \langle q; +\infty)[/tex]
Jeżeli ramiona paraboli skierowane są w dół, to zbiór wartości funkcji jest przedziałem: [tex]V = (-\infty; q\rangle[/tex]

We powyższym zapisie, literka [tex]q[/tex] jest drugą współrzędna wierzchołka paraboli [tex]W(p,q)[/tex]. Aby wyznaczyć jej wartość, należy podstawić nasze dane do równania: [tex]q = -\frac{\Delta}{4a}[/tex]

Jak wyznaczyć współrzędne (obie) wierzchołka paraboli?

Każdy punkt jest określony dwoma współrzędnymi - pierwsza, tzw. "iksowa", bo dotyczy osi OX, druga - "igrekowa" - bo dotyczy osi OY. W przypadku współrzędnych wierzchołka paraboli, punkt będący tymże wierzchołkiem będziemy oznaczać jako [tex]W(p,q)[/tex], gdzie:

[tex]p = -\frac{b}{2a}\\\\q = -\frac{\Delta}{4a}[/tex]

Rzecz jasna wartości liczbowe literek [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], ustalamy w oparciu o postać ogólną funkcji kwadratowej: [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex].

Powyższe własności funkcji łatwo odczytać, gdy funkcja jest określona w postaci kanonicznej, której postać to [tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex].

Przykład a)

[tex]f(x)=2(x-3)^2-4[/tex]

Funkcja w postaci kanonicznej, zatem na mocy wzoru trójmianu w postaci kanonicznej stwierdzamy, że

[tex]p=3\\\\q=-4[/tex]

Przedziały monotoniczności: [tex]a=2>0[/tex], zatem: [tex]f(x) \searrow \iff x \in (-\infty; 3\rangle ~~~~ \wedge ~~~~f(x) \nearrow \iff x \in \langle 3; +\infty)[/tex]
Zbiór wartości: [tex]a=2>0[/tex], zatem: [tex]V = \langle -4; +\infty)[/tex]
Współrzędne wierzchołka paraboli: [tex]W(p,q) = (3; -4)[/tex]

Przykład b)

[tex]f(x)=\frac{1}{4}(x+2)^2+2[/tex]

Funkcja w postaci kanonicznej, zatem na mocy wzoru trójmianu w postaci kanonicznej stwierdzamy, że

[tex]p=-2\\\\q=2[/tex]

Przedziały monotoniczności: [tex]a=2>0[/tex], zatem: [tex]f(x) \searrow \iff x \in (-\infty; -2\rangle ~~~~ \wedge ~~~~f(x) \nearrow \iff x \in \langle -2; +\infty)[/tex]
Zbiór wartości: [tex]a=2>0[/tex], zatem: [tex]V = \langle 2; +\infty)[/tex]
Współrzędne wierzchołka paraboli: [tex]W(p,q) = (-2;2)[/tex]

Pozdrawiam!