[tex]|x|+|y|+|z|\leq |x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|[/tex]
Z własności wartości bezwzględnej [tex]|x|+|y|\geq|x+y|[/tex], możemy zapisać:
[tex]|x+y-z|+|x-y+z|\geq|x+y-z+x-y+z|=|2x|=2|x|\\|x+y-z|+|-x+y+z|\geq|x+y-z-x+y+z|=|2y|=2|y|\\|x-y+z|+|-x+y+z|\geq|x-y+z-x+y+z|=|2z|=2|z|\\\\[/tex]
Dodając nierówności stronami, mamy:
[tex]2|x+y-z|+2|x-y+z|+2|-x+y+z|\geq2|x|+2|y|+2|z|\\|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq|x|+|y|+|z|[/tex]
W wyniku otrzymaliśmy wyjściową nierówność, c.k.d.
