Odpowiedź:
Niech trójkąt z zadania ma wierzchołki A, B oraz C, a środek okręgu wpisanego oznaczmy O. Pole trójkąta oznaczmy jako S. Oczywistym jest, że [tex]S=\left[ABO\right] + \left[ACO\right] + \left[BCO\right] = \frac{1}{2}(a+b+c)\cdot r[/tex], a z tego mamy: [tex]\frac{1}{r}= \frac{a+b+c}{2S}[/tex]
Możemy także zapisać, że [tex]S=\frac{1}{2}ah_a, S=\frac{1}{2}bh_b[/tex] oraz [tex]S=\frac{1}{2}ch_c[/tex]
Możemy przekształcić wyrażenia do postaci: [tex]\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2s}, \frac{1}{h_b}=\frac{b}{2s}, \frac{1}{h_c}=\frac{c}{2s}.[/tex]
Dodajmy powyższe równania: [tex]\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{1}{r}[/tex], co było do okazania.
