Symetralna odcinka to prosta prostopadła do [tex]|AB|[/tex], przechodząca przez środek tego odcinka.
Najpierw obliczamy środek odcinka [tex]|AB|[/tex].
Wykorzystujemy wzór na współrzędne środka odcinka:
[tex]C = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2} , \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) = (\frac{5 - 3}{2}, \frac{-7 + 17}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{10}{2}) = (1, 5)[/tex]
Wiemy, że nasza symetralna, nazwijmy ją prostą [tex]y_{s}[/tex], będzie przechodzić przez punkt C i jest prostopadła do prostej [tex]y_{AB}[/tex]. Żeby była prostopadła, to współczynnik kierunkowy ([tex]a[/tex]) prostej [tex]y_{AB}[/tex] pomnożony przez współczynnik kierunkowy prostej [tex]y_{s}[/tex] musi wynosić -1. Najpierw obliczamy więc wzór prostej [tex]y_{AB}[/tex], wykorzystując wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty:
[tex](y-y_{A})(x_{B}-x_{A}) - (y_{B}-y_{A})(x-x_{A}) = 0\\(y - (-7))(-3 - 5) - (17 - (-7))(x - 5) = 0\\-8(y + 7)) - 24(x - 5) = 0\\-8y - 56 - 24x + 120 = 0\\-8y = 24x - 64 | : (-8)\\y_{AB} = -3x + 8[/tex]
Widzimy z tego, że współczynnik kierunkowy [tex]y_{AB}[/tex], czyli [tex]a_{AB} = -3[/tex]. Podstawiamy więc pod wzór na prostopadłość, aby otrzymać współczynnik kierunkowy [tex]a_s[/tex]:
[tex]a_{AB} * a_s = -1\\-3 * a_s = -1 | :(-3)\\a_s = \frac{1}{3}[/tex]
I aby obliczyć symetralną, wykorzystujemy teraz wzór na prostą o współczynniku kierunkowym, który przechodzi przez punkt [tex]P = (x_0, y_0)[/tex]. Naszym punktem P jest punkt C ([tex]P = C[/tex]).
[tex]y_s = a (x - x_0) + y_0\\y_s = \frac{1}{3}(x - 1) + 5\\y_s = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + 5\\y_s = \frac{1}{3}x + \frac{14}{3}[/tex]
I mamy równanie symteralnej :)
