1. Obliczmy długości boków:
c = |AB| = [tex]\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2} = \sqrt{6^2+8^2}= \sqrt{100} = 10[/tex]
a = |BC| = [tex]\sqrt{(x_b-x_c)^2+(y_b-y_c)^2} = \sqrt{4^2+4^2}= \sqrt{32} = 4\sqrt2[/tex]
b = |CA| = [tex]\sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2} = \sqrt{2^2+4^2}= \sqrt{20} = 2\sqrt5[/tex]
Obliczamy długości środkowych:
[tex]|AD| = d_a[/tex] (oznacza środkową opadającą na bok a - bok |BC|)
[tex]d_a=\frac {1}{2}\sqrt {2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}\\d_a = \frac {1}{2}\sqrt {2*10^2+2*(2\sqrt5)^2-(4\sqrt2)^2}\\d_a = \frac12\sqrt{200+40-32}\\d_a = \frac12\sqrt{208} = \frac12*4\sqrt{13}=2\sqrt{13}[/tex]
|BE| = [tex]d_b[/tex] (oznacza środkową opadającą na bok b - bok |CA|)
[tex]d_b=\frac {1}{2}\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}\\d_b = \frac {1}{2}\sqrt {2*(4\sqrt2)^2+2*10^2-(2\sqrt5)^2}\\d_b = \frac12\sqrt{64+200-20}\\d_b = \frac12\sqrt{244} = \frac12*2\sqrt{61} = \sqrt{61}[/tex]
|CF| = [tex]d_c[/tex] (oznacza środkową opadającą na bok c - bok |AB|)
[tex]d_c=\frac {1}{2}\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}\\d_c = \frac {1}{2}\sqrt {2*(4\sqrt2)^2+2*(2\sqrt5)^2-10^2}\\d_c = \frac12\sqrt{64+40-100}\\d_c = \frac12\sqrt{4} = \frac12*2 = 1[/tex]
Współrzędne środka ciężkości:
[tex]S = (\frac{x_a +x_b+x_c}{3},\frac{y_a+y_b+y_c}{3})\\S = (\frac{-2+4+0}{3},\frac{-3+5+1}{3})\\S = (-2,1)[/tex]
