Szczegółowe wyjaśnienie:
Zapiszmy wszystkie możliwości liczb parzystych niepodzielnych przez sześć:
[tex]6n+2\\6n+4\\gdzie \ n \in \mathbb{N_+}[/tex]
Wyznaczmy sześciany tych liczb:
[tex](6n+2)^3=216n^3+216n^2+72n+8\\\\(6n+4)^3=216n^3+432n^2+288n+64[/tex]
Uzyskaliśmy dwa wielomiany. Teraz wystarczy, że podzielimy je przez sześć i odczytamy uzyskaną resztę z dzielenia.
Pierwsze równanie:
[tex]\frac{1}{6} \cdot (216n^3+216n^2+72n+8)=36n^3+36n^2+12n+\frac{8}{6}[/tex]
Wszystkie składniki powyższego wielomianu poza wyrazem wolnym są liczbami całkowitymi. Oznacza to, że podzieliły się one bez reszty przez sześć. Należy więc rozważyć jedynie wyraz wolny. Reszta z dzielenia liczby osiem przez sześć to dwa:
[tex]8 \ mod \ 6=2[/tex]
Drugie równanie:
[tex]\frac{1}{6} \cdot (216n^3+432n^2+288n+64)=36n^3+72n^2+48n+\frac{64}{6}[/tex]
Wszystkie składniki powyższego wielomianu poza wyrazem wolnym są liczbami całkowitymi. Oznacza to, że podzieliły się one bez reszty przez sześć. Należy więc rozważyć jedynie wyraz wolny. Reszta z dzielenia liczby sześćdziesiąt cztery przez sześć to cztery:
[tex]64 \ mod \ 6=4[/tex]
Zatem:
Reszta z dzielenia przez sześć dowolnego sześcianu liczby parzystej niepodzielnej przez sześć jest równa dwa lub cztery.
q. e. d.
