Rozwiązanie:
Zadanie łatwo wynika z nierówności Cauchy'ego pomiędzy średnimi - arytmetyczną, a geometryczną. Otóż prawdą jest, że:
[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} \\\frac{x+z}{2} \geq \sqrt{xz} \\\frac{y+z}{2}\geq \sqrt{yz}[/tex]
Po dodaniu tych nierówności stronami otrzymamy tezę:
[tex]\frac{x+y+x+z+y+z}{2} \geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz} \\x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}[/tex]
co kończy dowód.
Zależność tę (pomiędzy średnimi) łatwo jest wykazać, otóż np. dla liczb [tex]a,b[/tex] mamy:
[tex]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \\a+b\geq 2\sqrt{ab} \\a-2\sqrt{ab} +b\geq 0\\(\sqrt{a} -\sqrt{b} )^{2}\geq 0[/tex]
co jest oczywiście prawdą.
