Rozwiązanie:
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}|(-4-2)(6-9)-(-5-9)(9-2)|=\frac{1}{2}|(-6)*(-3)-(-14)*7| =\frac{1}{2}*118 = 58[/tex]
Obliczamy długości odcinków trójkąta:
[tex]|AB|=\sqrt{(-4-2)^{2}+(-5-9)^{2}} =\sqrt{36+196}=\sqrt{232} =2\sqrt{58}\\|AC|=\sqrt{(9-2)^{2}+(6-9)^{2}} =\sqrt{49+9}=\sqrt{58} \\|BC|=\sqrt{(9+4)^{2}+(6+5)^{2}} =\sqrt{169+121}=\sqrt{290}[/tex]
Teraz obliczamy poszczególne kąty z twierdzenia cosinusów:
1) [tex]\angle ABC = \alpha[/tex] :
[tex]58=232+290-2*2\sqrt{58} *\sqrt{290} *cos\alpha \\-464=-4\sqrt{16820} *cos\alpha \\464=232\sqrt{5} *cos\alpha \\cos\alpha =\frac{464}{232\sqrt{5} }=\frac{2\sqrt{5} }{5}[/tex]
2) [tex]\angle ACB = \beta[/tex] :
[tex]232=58+290-2*\sqrt{58} *\sqrt{290}*cos\beta \\-116=-2\sqrt{16820} *cos\beta \\116=116\sqrt{5} *cos\beta \\cos\beta =\frac{\sqrt{5} }{5}[/tex]
3) [tex]\angle BAC=\gamma :[/tex]
[tex]290=58+232-2*\sqrt{58}*\sqrt{232}*cos \gamma\\0= -2\sqrt{13456} *cos\gamma\\cos \gamma=0[/tex]
