SIMBA125125viz
Rozwiązane

Wielościany. Zadanie 9 przykład b)​

Wielościany Zadanie 9 Przykład B class=

Odpowiedź :

Jola6609viz

Zadanie 9

b)

d - krótsza przekątna

I sposób

Sześciokąt składa się z 6 trójkątów równobocznych. Krótsza przekątna to  suma długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego.

[tex]d=2\cdot h=2\cdot \frac{a\sqrt{3} }{2}=a\sqrt{3}[/tex]

II sposób

Przekątna dłuższa p, krótsza d oraz krawędź a tworzą trójkąt prostokątny.

Można skorzystać z twierdzenia Pitagorasa

[tex]d^{2}+a^{2}=p^{2}\ \ \mid-a^{2}\\\\d^{2}= p^{2}- a^{2}\\\\d=\sqrt{p^{2}- a^{2}}[/tex]

Bartek4877viz

Odpowiedź:

W podstawie tego graniastosłupa znajduje się sześciokąt prawidłowy o krawędzi a.

Z rysunku wynika że dłuższa przekątna podstawy(d), dłuższa przekątna graniastosłupa ( p) i wysokość (h) tworzą razem trójkąt prostokątny.

Widzimy że dłuższa przekątna podstawy d to podwojona długość boku a, czyli :

d = 2a.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczam wysokość tego graniastosłupa:

h² + d² = p²

Podstawiam za d:

h² + (2a)² = p²

h² + 4a² = p²

h² = p² - 4a²

Z rysunku wynika również że krótsza przekątna podstawy ( d), krótsza przekątna graniastosłupa (D) i wysokość (h) tworzą razem trójkąt prostokątny.

Widzimy że krótsza przekątna postawy to podwojona wysokość trójkąta równobocznego ( bo sześciokąt w podstawie można podzielić na sześć trójkątów równobocznych).

Więc :

d = 2h = 2 * (a√3)/2 = a√3

Teraz wyznaczam długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

h² + d² = D²

Podstawiam za d:

h² + (a√3)² = D²

h² + 3a² = D²

D² = h² + 3a²

Podstawiam za h² (wcześniej wyznaczone):

D² = p² - 4a² + 3a²

D² = p² - a²

D = √(p² - a²)

Odp : długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa wynosi √(p² - a²).

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rysunek do zadania w załączniku:

Zobacz obrazek Bartek4877

Viz Inne Pytanie