Odpowiedź:
[tex]a=5\sqrt{5}[/tex], [tex]P=75[/tex], [tex]|DB|=5\sqrt{2}, |AC|=15\sqrt{2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy oznaczenia takie, jakie są w załączniku.
Pole rombu możemy wyrazić na dwa sposoby:
[tex]P=a^{2} sin\alpha =ah[/tex]
[tex]sin\alpha =\frac{h}{a}[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej obliczamy wartość sinusa kąta [tex]\alpha[/tex]:
[tex]cos\alpha =\frac{4}{5}[/tex] ⇒ [tex]sin\alpha =\frac{3}{5}[/tex]
Teraz wstawiamy tę wartość do powyższej zależności i dostajemy:
[tex]\frac{3}{5} =\frac{h}{a}[/tex] ⇒ [tex]3a=5h[/tex]
Wiemy ponadto, że [tex]a+h=8\sqrt{5}[/tex] ⇔ [tex]h=8\sqrt{5} -a[/tex], wstawiamy tę wartość do wcześniejszego równania:
[tex]3a=5(8\sqrt{5} -a)[/tex] ⇔ [tex]3a=40\sqrt{5} -5a[/tex] ⇔ [tex]8a=40\sqrt{5}[/tex] ⇔ [tex]a=5\sqrt{5}[/tex]
Dalej obliczamy wysokość rombu:
[tex]h=8\sqrt{5} -a=3\sqrt{5}[/tex]
Popatrzmy teraz na trójkąt prostokątny [tex]AKD[/tex], z definicji funkcji cosinus obliczamy długość odcinka [tex]x[/tex]:
[tex]cos\alpha =\frac{a-x}{a} =\frac{4}{5}[/tex] ⇔ [tex]5x=a[/tex] ⇔ [tex]x=\frac{5\sqrt{5} }{5} =\sqrt{5}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym [tex]DKB[/tex] dostaniemy:
[tex]|DB|^{2} =h^{2} +x^{2} =(3\sqrt{5}) ^{2} +(\sqrt{5} )^{2} =50\\|DB|=\sqrt{50} =5\sqrt{2}[/tex]
Obliczamy pole rombu z wcześniejszego wzoru:
[tex]P=75[/tex]
Ze wzoru na pole rombu z przekątnymi obliczamy długość odcinka [tex]|AC|[/tex] :
[tex]P=\frac{1}{2} |DB| |AC|=75[/tex]
[tex]|AC|=15\sqrt{2}[/tex]
