c)
[tex]n^2+\frac{1}{4}+n-n^2-\frac{1}{4}+n=2n[/tex]
co było do udowodnienia
d)
[tex]n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)[/tex]
mamy tu do czynienia z iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych
Jest zatem wśród nich przynajmniej jednak parzysta i dokładnie jednak podzielna przez 3
Te drugą własność można bardzo łatwo udowodnić;
załóżmy, że:
n mod 3 = 1
wtedy (n-1) mod 3 =0 i to n-1 jest podzielna przez 3
Jeżeli natomiast n mod 3 =2, to
(n+1) mod 3 = 0 i n+1 jest podzielna przez 3
przypadek n mod 3 = 0 jest trywialny
Ponieważ nasza liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 to jest podzielna przez 6
co było do udowodnienia
pozdrawiam
